Olimpiade Matematica Polacca 1996 — Round 1

Find positive integers n for which tan x + cot x = 2 sin nx has a real solution

Find all positive integers $n$ for which the equation $\tan x+\cot x=2\sin nx$ has a real solution.

Topic: Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trovare numeri interi positivi n per i quali tan x + cot x = 2 sin nx ha una soluzione reale

Trova tutti gli integri positivi $n$ per i quali l’equazione $\tan x+\cot x=2\sin nx$ ha una soluzione reale.

src_pol_1996_r1__Q01

Find all primes dividing at least one difference of consecutive palindromic numbers

A natural number is \emph{palindromic} if it is equal to the number obtained by reading its decimal representation from right to left. Let $x_1,x_2,x_3,\dots$ be the increasing sequence of all palindromic numbers. Find all primes which divide at least one of the differences $x_{k+1}-x_k$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri primi che dividono almeno una differenza di numeri palindromici consecutivi

Un numero naturale è \emph{palindromic} se è uguale al numero ottenuto leggendo la sua rappresentazione decimale da destra a sinistra. Lasciate che $x_1,x_2,x_3,\dots$ sia la sequenza crescente di tutti i numeri palindromici. Trova tutti i numeri primi che dividono almeno una delle differenze $x_{k+1}-x_k$.

src_pol_1996_r1__Q02

In a group of kn people where everyone knows more than (k-1)n others, prove a clique of k+1 exists

In a group of $kn$ persons ($k,n\in \mathbb{N}$), everybody knows more than $(k-1)n$ of the others. Prove that there is a group of $k+1$ persons which all know each other.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Induzione Abilita: Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In un gruppo di persone che conoscono tutti più di (k-1) altri, dimostrare l’esistenza di una cricca di k+1

In un gruppo di persone $kn$ ($k,n\in \mathbb{N}$), tutti conoscono più di $(k-1)n$ degli altri. dimostrare che esiste un gruppo di persone $k+1$ che si conoscono tutte.

src_pol_1996_r1__Q03

A tangent to the incircle of an equilateral triangle meets AB, AC at D, E; prove AD/DB + AE/EC = 1

A line tangent to the incircle of an equilateral triangle $ABC$ intersects $AB$ and $AC$ at $D$ and $E$ respectively. Prove that $\frac{AD}{DB}+\frac{AE}{EC}=1$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Una tangente all’incircolo di un triangolo equilaterale incontra AB, AC a D, E; prova AD/DB + AE/EC = 1

Una linea tangente all’incircolo di un triangolo equilaterale $ABC$ si interseca rispettivamente a $AB$ e $AC$ a $D$ e $E$. Prove che $\frac{AD}{DB}+\frac{AE}{EC}=1$.

src_pol_1996_r1__Q04

Triangle with obtuse angle CAB; PQ a segment with midpoint A; show BP + CQ >= (alpha/2) BC tangent relation

In a triangle $ABC$, the angle $\angle CAB$ is obtuse. Let $PQ$ be any segment whose midpoint is $A$. Show that $BP+CQ\ge \tan \frac{\angle CAB}{2}\cdot BC$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze, Trigonometria Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangolo con angolo obtuso CAB; PQ un segmento con punto medio A; mostrare BP + CQ >= (alfa/2) BC relazione tangente

In un triangolo $ABC$, l’angolo $\angle CAB$ è obtuso. Il segmento $PQ$ deve essere qualsiasi segmento il cui punto medio è $A$. Mostrare che $BP+CQ\ge \tan \frac{\angle CAB}{2}\cdot BC$.

src_pol_1996_r1__Q05

Two increasing sequences (one arithmetic difference r, one geometric ratio q>1) with a common term; if they share a common term, prove infinitely many

Two increasing sequences are given: an arithmetic progression with difference $r>0$ and a geometric progression with ratio $q>1$, where $q$ and $r$ are coprime. Prove that if these two sequences have a common term, then they have infinitely many common terms.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due sequenze in aumento (una differenza aritmetica r, un rapporto geometrico q>1) con un termine comune; se condividono un termine comune, dimostrare infinitamente molti

Sono date due sequenze in aumento: una progressione aritmetica con differenza $r>0$ e una progressione geometrica con rapporto $q>1$, dove $q$ e $r$ sono coprime. Prova che se queste due sequenze hanno un termine comune, allora hanno infinitamente molti termini comuni.

src_pol_1996_r1__Q06

Nonnegative a,b,c and p,q,r summing to 1 with p,q,r <= 1/2; prove 8abc <= pa+qb+rc

Let $a,b,c$ and $p,q,r$ be nonnegative numbers satisfying $a+b+c=p+q+r=1$ and $p,q,r\le 1/2$. Prove that $8abc\le pa+qb+rc$ and find when equality occurs.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nonnegativi a,b,c e p,q,r sommando a 1 con p,q,r <= 1/2; dimostrare 8abc <= pa+qb+rc

$a,b,c$ e $p,q,r$ siano numeri non negativi che soddisfino $a+b+c=p+q+r=1$ e $p,q,r\le 1/2$. Prove che $8abc\le pa+qb+rc$ e trova quando si verifica l’uguaglianza.

src_pol_1996_r1__Q07

Light ray from center of square reflects off sides and returns to center for the first time; prove odd number of reflections

A ray of light starts from the center of a square and reflects from its sides (the angles of reflection and incidence are always equal). The ray never reaches a vertex of the square and, after some time, it returns to the center for the first time. Prove that the ray reflected from the sides of the square an odd number of times.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Invarianti, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il raggio di luce dal centro del quadrato si riflette lateralmente e torna al centro per la prima volta; dimostrare numero impar di riflessi

Un raggio di luce parte dal centro di un quadrato e si riflette dai suoi lati (gli angoli di riflessione e di incidenza sono sempre uguali). Il raggio non raggiunge mai il vertice del quadrato e, dopo un po’, ritorna al centro per la prima volta. Prove che il raggio si riflette dai lati del quadrato un numero imparato di volte.

src_pol_1996_r1__Q08

Integer-coefficient polynomial with remainder 990x - 889 modulo x^2-12x+11; prove no integer roots

A polynomial with integer coefficients, when divided by $x^2-12x+11$, gives the remainder $990x-889$. Prove that this polynomial has no integer roots.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

polinomio a coefficiente intero con rimanente 990x - 889 modulo x^2-12x+11; dimostrazione di assenza di radici interi

Un polinomio con coefficienti interi, quando diviso da $x^2-12x+11$, dà il rimanente $990x-889$. Prova che questo polinomio non ha radici interi.

src_pol_1996_r1__Q09

Prove x^9 = y^3 + z^3 has infinitely many solutions in positive integers

Prove that the equation $x^9=y^3+z^3$ has infinitely many solutions in positive integers $x,y,z$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove x^9 = y^3 + z^3 ha infinite soluzioni in interi positivi

Prova che l’equazione $x^9=y^3+z^3$ ha infinite soluzioni in numeri interi positivi $x,y,z$.

src_pol_1996_r1__Q10

65-contestant ski jump in random order; prove probability of exactly one leader change exceeds 1/16

In a skiing jump competition $65$ contestants jump in a previosly established order, each of them exactly once. We assume that their results are all different and that all possible final rankings are equaly likely. In each moment of the competition we call a person with the best score (at that moment) a leader. Let $p$ be the probability that during the whole competition there was exactly one change of a leader. Prove that $p>1/16$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

65-competitor ski jump in ordine casuale; dimostrare che la probabilità di esattamente un cambio di leader supera 1/16

In una competizione di salto sciistico $65$ i concorrenti saltano in un ordine predeterminato, ognuno di loro esattamente una volta. Supponiamo che i loro risultati siano tutti diversi e che tutte le possibili classifiche finali siano ugualmente probabili. In ogni momento della competizione chiamiamo leader la persona con il miglior punteggio (in quel momento). Che la probabilità di $p$ sia quella che durante l’intero concorso ci sia stato esattamente un solo cambio di leader. Prove che $p>1/16$.

src_pol_1996_r1__Q11

Determine whether two congruent cubes with common center can be placed so every face of one and every face of the other share a common point

Find if there exist two congruent cubes with a common center such that each face of one cube and each face of the other cube have a common point.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Determine se due cubetti congruenti con centro comune possono essere posizionati in modo che ogni faccia di uno e ogni faccia dell’altro condividano un punto comune

Trova se esistono due cubi congruenti con un centro comune in modo tale che ogni faccia di un cubo e ogni faccia dell’altro cubo abbiano un punto comune.

src_pol_1996_r1__Q12