Olimpiade Matematica Polacca 1996 — Round 2

Polynomial as sum of cubes of integer-coefficient polynomials

Can every polynomial with integer coefficients be expressed as a sum of cubes of polynomials with integer coefficients?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Polinomio come somma di cubetti di polinomi a coefficiente intero

Ogni polinomio con coefficienti interi può essere espresso come una somma di cubetti di polinomi con coefficienti interi?

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Circle tangent to quadrilateral sides; collinearity of KL and MN intersections

A circle with center $O$ is tangent to the sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ of a convex quadrilateral $ABCD$ at $K$, $L$, $M$, $N$. The lines $KL$ and $MN$ intersect at point $S$. Prove that $BD\perp OS$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo tangente ai lati quadrilaterali; collinearità delle intersezioni KL e MN

Un cerchio con il centro $O$ è tangente ai lati $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ di un quadrilaterale converso $ABCD$ a $K$, $L$, $M$, $N$. Le linee $KL$ e $MN$ si incrociano al punto $S$. Prove che $BD\perp OS$.

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Inequality with a+b+c=1 and a,b,c > -1/2

Prove that if $a,b,c>-\frac{1}{2}$ and $a+b+c=1$, then $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le \frac{9}{10}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza con a+b+c=1 e a,b,c > -1/2

Prove che se $a,b,c>-\frac{1}{2}$ e $a+b+c=1$, allora $\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le \frac{9}{10}.$

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Digit sequence: repeated consecutive pair among first 99 terms

Let $a_1,a_2,\dots$ be a sequence of digits from the set $\{0,1,\dots ,9\}$ such that if $a_i=n$, $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 10$, then $a_{i+1}\ge 2$, and if $a_i=3$ then $a_{i+1}\ne 4$. Prove that there exist indices $i,j\in \{1,\dots ,99\}$, $i\ne j$, such that $a_i=a_j$ and $a_{i+1}=a_{j+1}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri: coppia successiva ripetuta tra i primi 99 termini

Se $a_1,a_2,\dots$ è una sequenza di cifre dell’insieme $\{0,1,\dots ,9\}$ in modo tale che se $a_i=n$, $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 10$, allora $a_{i+1}\ge 2$, e se $a_i=3$, allora $a_{i+1}\ne 4$. Prove che esistono indici $i,j\in \{1,\dots ,99\}$, $i\ne j$, quali $a_i=a_j$ e $a_{i+1}=a_{j+1}$.

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Find all integers x,y with x^2(y-1)+y^2(x-1)=1

Find all integers $x$, $y$ such that $x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli enti x,y con x^2(y-1) + y^2(x-1)=1

Trova tutti gli integri $x$, $y$ tali da $x^2(y-1)+y^2(x-1)=1$.

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Interior point of parallelepiped at most (1/2)sqrt(a^2+b^2+c^2) from a vertex

Prove that every interior point of a parallelepiped with edges $a$, $b$, $c$ is at distance at most $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ from some vertex of the parallelepiped.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Punto interno di parallelepiped al massimo (1/2)sqrt(a^2+b^2+c^2) da un vertice

Prova che ogni punto interno di un parallelepiped con bordi $a$, $b$, $c$ è a distanza massima $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ da qualche vertice del parallelepiped.

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