Olimpiade Matematica Polacca 1996 — Round 3

Find all positive integers n and reals r such that 2x^2+2x+1 divides (x+1)^n - r.

Determine all positive integers $n$ and real numbers $r$ such that the polynomial $2x^2+2x+1$ divides $(x+1{)}^n-r$.

Topic: Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti gli integri positivi n e r reali in modo tale che 2x^2+2x+1 divida (x+1)^n - r.

Determinare tutti i numeri interi positivi $n$ e i numeri reali $r$ in modo tale che il polinomio $2x^2+2x+1$ divida $(x+1{)}^n-r$.

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Interior point P of triangle ABC with angle PBC = angle PCA < angle PAB; line BP meets circumcircle again at E, circumcircle of APE meets CE again at F; prove APEF is a convex quadrilateral and the ratio of its area to area of triangle ABP is independent of P.

Let $P$ be an interior point of a triangle $ABC$ such that $\angle PBC=\angle PCA<\angle PAB$. The line $BP$ intersects the circumcircle of triangle $ABC$ again at point $E$. The circumcircle of triangle $APE$ intersects $CE$ again at $F$. Prove that $APEF$ is a convex quadrilateral and that the ratio of its area to the area of the triangle $ABP$ does not depend on the choice of $P$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto interno del triangolo ABC con angolo PBC = angolo PCA < angolo PAB; linea BP incontra il circoncircolo di nuovo a E, il circoncircolo di APE incontra il CE di nuovo a F; dimostrare che l’APEF è un quadrilaterale convexo e che il rapporto tra la sua area e l’area del triangolo ABP è indipendente da P.

$P$ sia un punto interno di un triangolo $ABC$ tale che $\angle PBC=\angle PCA<\angle PAB$. La linea $BP$ interseca nuovamente il circoncircolo del triangolo $ABC$ al punto $E$. Il circoncircolo del triangolo $APE$ si interseca di nuovo con $CE$ a $F$. Prove che $APEF$ è un quadrilaterale convesso e che il rapporto tra la sua superficie e la superficie del triangolo $ABP$ non dipende dalla scelta di $P$.

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For positive a_i and x_i each summing to 1, prove 2sum_{i<j} x_i x_j <= (n-2)/(n-1) + sum a_i x_i^2/(1-a_i), and determine equality cases.*

Let $a_1,a_2,\dots ,a_n$ be positive numbers with the sum 1.

(a) Prove that for any positive $x_1,x_2,\dots ,x_n$ with the sum 1 it holds that $2{\sum }_{i<j}{x}_i{x}_j\le \frac{n-2}{n-1}+{\sum }_{i=1}^n\frac{a_i{x}_i^2}{1-a_i}.$

(b) In the above inequality, determine all cases of equality.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per i positivi a_i e x_i ogni somma a 1, provare 2sum_{i<j} x_i x_j <= (n-2)/(n-1) + somma a_i x_i^2/(1-a_i), e determinare i casi di uguaglianza.*

$a_1,a_2,\dots ,a_n$ siano numeri positivi con la somma 1.

(a) Prove che per ogni $x_1,x_2,\dots ,x_n$ positivo con la somma 1 si ritiene che $2{\sum }_{i<j}{x}_i{x}_j\le \frac{n-2}{n-1}+{\sum }_{i=1}^n\frac{a_i{x}_i^2}{1-a_i}.$

b) Nella disuguaglianza sopra indicata, determinare tutti i casi di uguaglianza.

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Tetrahedron ABCD with angle BAC = angle ACD and angle CDB = angle DBA; prove AB = CD.

Suppose that a tetrahedron $ABCD$ is such that $\angle BAC=\angle ACD$ and $\angle CDB=\angle DBA$. Prove that $AB=CD$.

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedro ABCD con angolo BAC = angolo ACD e angolo CDB = angolo DBA; dimostrare AB = CD.

Supponiamo che un tetraedro $ABCD$ sia tale che $\angle BAC=\angle ACD$ e $\angle CDB=\angle DBA$. Prove che $AB=CD$.

src_pol_1996_r3__Q04

With p(k)=least prime not dividing k, q(k)=product of all primes smaller than p(k) (1 if p(k)=2), x_0=1, x_{n+1}=x_n p(x_n)/q(x_n), determine all n with x_n = 111111.

For a natural number $k$, we denote by $p(k)$ the least prime number that does not divide $k$. Let us define $q(k)$ as the product of all primes smaller than $p(k)$ if $p(k)>2$, and as 1 otherwise. The sequence $(x_n)$ is given by $x_0=1$ and $x_{n+1}=\frac{x_{n}p(x_n)}{q(x_n)}\text{for }n=0,1,2,\dots .$ Determine all positive integers $n$ such that $x_n=111111$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Con p(k) = minimo primo non diviso k, q(k) = prodotto di tutti i primi più piccoli di p(k) (1 se p(k) =2), x_0=1, x_{n+1}=x_n p(x_n)/q(x_n), determinare tutti n con x_n = 111111.

Per un numero naturale $k$, indichiamo con $p(k)$ il numero primo minore che non divide $k$. Difiniamo $q(k)$ come il prodotto di tutti i numeri primi inferiori a $p(k)$ se $p(k)>2$, e come 1 altrimenti. La sequenza $(x_n)$ è data da $x_0=1$ e $x_{n+1}=\frac{x_{n}p(x_n)}{q(x_n)}\text{for }n=0,1,2,\dots .$ Determina tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $x_n=111111$.

src_pol_1996_r3__Q05

Among permutations f of {1,…,n} with f(i) >= i-1 for all i, p_n is the probability a randomly chosen one also satisfies f(i) <= i+1 for all i; determine all n with p_n > 1/3.

Consider the collection of all permutations $f$ of the set $\{1,2,\dots ,n\}$ which satisfy $f(i)\ge i-1$ for all $i$. Let $p_n$ be the probability that a randomly chosen permutation from this collection also satisfies $f(i)\le i+1$ for all $i$. Determine all $n$ for which $p_n>1/3$.

Topic: Combinatoria, Probabilità Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tra le permutazioni f di {1,…,n} con f(i) >= i-1 per tutti i, p_n è la probabilità che una scelta casuale soddisfi anche f(i) <= i+1 per tutti i; determinare tutti n con p_n > 1/3.

Considera la raccolta di tutte le permutazioni $f$ del set $\{1,2,\dots ,n\}$ che soddisfano $f(i)\ge i-1$ per tutte le $i$. $p_n$ sia la probabilità che una permutazione scelta casualmente da questa collezione soddisfi anche $f(i)\le i+1$ per tutti $i$. Determinare tutti i $n$ per i quali $p_n>1/3$.

src_pol_1996_r3__Q06