Olimpiade Matematica Polacca 1997 — Round 1

Solve a system of two equations involving signed absolute values of x and y.

Solve the system of equations $x|x|+y|y|=|x|+|y|=1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Solvi un sistema di due equazioni che coinvolgono valori assoluti firmati di x e y.

Risolvere il sistema di equazioni $x|x|+y|y|=|x|+|y|=1$.

src_pol_1997_r1__Q01

In a parallelogram with an interior point giving an angle equality, prove another angle equality.

Let $P$ be a point inside a parallelogram $ABCD$ such that $\angle ABP=\angle ADP$. Prove that $\angle PAB=\angle PCB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un parallelo con un punto interno che dà un’eguaglianza d’angolo, dimostrare un’altra eguaglianza d’angolo.

$P$ deve essere un punto all’interno di un parallelo $ABCD$ tale che $\angle ABP=\angle ADP$. Prove che $\angle PAB=\angle PCB$.

src_pol_1997_r1__Q02

Prove an inequality for real numbers a,b at least 1 and c at least 0, with integer n at least 1.

Let $a,b\ge 1$, $c\ge 0$ be real numbers and $n\ge 1$ be an integer. Prove that $(ab+c{)}^n-c\le a^n\left((b+c{)}^n-c\right).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimostra una disuguaglianza per i numeri reali a,b almeno 1 e c almeno 0, con un numero intero n almeno 1.

$a,b\ge 1$, $c\ge 0$ siano numeri reali e $n\ge 1$ un numero intero. Provare che $(ab+c{)}^n-c\le a^n\left((b+c{)}^n-c\right).$

src_pol_1997_r1__Q03

Prove that an integer n at least 2 is composite iff certain positive integers a,b,x,y exist.

Prove that an integer $n\ge 2$ is composite if and only if there are positive integers $a,b,x,y$ with $a+b=n$ and $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove che un intero n di almeno 2 è composto se esistono alcuni interi positivi a,b,x,y.

Prova che un intero $n\ge 2$ è composto se e solo se ci sono interi positivi $a,b,x,y$ con $a+b=n$ e $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

src_pol_1997_r1__Q04

Angle bisectors of a triangle meet the opposite sides and the circumcircle; prove a sum of ratios is at least 1.

The angle bisectors of the angles $A$, $B$, $C$ of a triangle $ABC$ meet the opposite sides at $D$, $E$, $F$ and the circumscribed circle of $△ABC$ at $K$, $L$, $M$, respectively. Prove that $\frac{AD}{DK}+\frac{BE}{EL}+\frac{CF}{FM}\ge 1.$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

I bisettori angolari di un triangolo incontrano i lati opposti e il circoncircolo; dimostrare che la somma dei rapporti è almeno di 1.

I bisettori angolari degli angoli $A$, $B$, $C$ di un triangolo $ABC$ incontrano i lati opposti rispettivamente a $D$, $E$, $F$ e il cerchio circoscritto di $△ABC$ a $K$, $L$ e $M$. Provare che $\frac{AD}{DK}+\frac{BE}{EL}+\frac{CF}{FM}\ge 1.$

src_pol_1997_r1__Q05

Determine P(0) for a degree-n polynomial taking value 1/k at powers of 2.

If $P(x)$ is a polynomial of degree $n$ such that $P(k)=1/k$ for $k=1,2,4,8,\dots ,2^n$, determine $P(0)$.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Determine P(0) per un polinomio di grado n che assume il valore 1/k a potenze di 2.

Se $P(x)$ è un polinomio di grado $n$ tale che $P(k)=1/k$ per $k=1,2,4,8,\dots ,2^n$, determinare $P(0)$.

src_pol_1997_r1__Q06

Find the supremum of volumes of tetrahedra contained in a ball, with one edge a diameter.

Find the supremum of volumes of tetrahedra contained in a ball of a given radius, whose one edge is a diameter of the ball.

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il massimo dei volumi di tetraedri contenuti in una palla, con un bordo di diametro.

Trova il massimo dei volumi di tetraedri contenuti in una palla di un determinato raggio, il cui bordo è il diametro della palla.

src_pol_1997_r1__Q07

Counting subsets by sum-remainder mod 7 and by product-remainder mod 7; find the ratio a_n/b_n.

Let $a_n$ denote the number of all nonempty subsets of $\{1,2,\dots ,6n\}$ the sum of whose elements gives the remainder $5$ when divided by $7$. Also, let $b_n$ be the number of all nonempty subsets of $\{1,2,\dots ,7n\}$ whose product of elements gives the remainder $5$ when divided by $7$. Find $a_n/b_n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Congruenze, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i sottoinsiemi per somma rimanente mod 7 e per prodotto rimanente mod 7; trovare il rapporto a_n/b_n.

$a_n$ indica il numero di tutti i sottogruppi non vuoti di $\{1,2,\dots ,6n\}$ la cui somma di elementi dà il rimanente $5$ diviso per $7$. Inoltre, $b_n$ è il numero di tutti i sottogruppi non vuoti di $\{1,2,\dots ,7n\}$ il cui prodotto degli elementi dà il rimanente $5$ diviso per $7$. Trova $a_n/b_n$.

src_pol_1997_r1__Q08

Find all functions on [1,infinity) into [1,infinity) satisfying a recurrence and a boundedness condition.

Find all functions $f:[1,\infty )\to [1,\infty )$ which satisfy: (i) $f(x+1)=\frac{f(x{)}^2-1}{x}$ for all $x\ge 1$; (ii) the function $g(x)=f(x)/x$ is bounded.

Topic: Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le funzioni su [1,infinity) in [1,infinity) che soddisfano una ricorrenza e una condizione di limitazione.

Trova tutte le funzioni $f:[1,\infty )\to [1,\infty )$ che soddisfano: (i) $f(x+1)=\frac{f(x{)}^2-1}{x}$ per tutte le $x\ge 1$; (ii) la funzione $g(x)=f(x)/x$ è limitata.

src_pol_1997_r1__Q09

In an acute triangle with two interior points satisfying angle equalities, prove a right-angle condition is equivalent to Q being an orthocenter.

Let $P,Q$ be points inside an acute-angled triangle $ABC$ such that $\angle ACP=\angle BCQ$ and $\angle CAP=\angle BAQ$. Let $D$, $E$, $F$ be the feet of the perpendiculars from $P$ to $BC$, $CA$, $AB$, respectively. Prove that $\angle DEF=90^{\circ }$ if and only if $Q$ is the orthocenter of $△BDF$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un triangolo acuto con due punti interni che soddisfano le equazioni angolari, dimostrare che una condizione rettangolare è equivalente a Q essendo un ortocentro.

Si deve $P,Q$ essere punti all’interno di un triangolo a angolo acuto $ABC$ in modo tale che $\angle ACP=\angle BCQ$ e $\angle CAP=\angle BAQ$. I piedi delle perpendicolari $D$, $E$ e $F$ siano rispettivamente $P$ a $BC$, $CA$ e $AB$. Prova che $\angle DEF=90^{\circ }$ se e solo se $Q$ è l’ortocentro di $△BDF$.

src_pol_1997_r1__Q10

For a non-constant integer polynomial with at least three distinct integer roots, prove P(x)+5^m has at most one integer root.

Let $m$ be a positive integer and $P(x)$ a non-constant polynomial with integer coefficients. Prove that if $P(x)$ has at least three distinct integer roots, then $P(x)+5^m$ has at most one integer root.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per un polinomio di numeri interi non costanti con almeno tre radici di numeri interi distinte, dimostrare che P(x) + 5^m ha al massimo una radice di numeri interi.

Che $m$ sia un intero positivo e $P(x)$ un polinomio non costante con coefficienti interi. Prova che se $P(x)$ ha almeno tre radici di numeri interi distinte, allora $P(x)+5^m$ ha al massimo una radice di numeri interi.

src_pol_1997_r1__Q11

For n people dining three at a time with each pair meeting exactly once, prove n is congruent to 1 or 3 mod 6.

A group of $n$ people noticed that, for some period of time, three of them might be going for a dinner together, each pair meeting at exactly one dinner. Prove that $n\equiv 1$ or $n\equiv 3(\mathrm{mod}6)$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per n persone che cenano tre volte e ogni coppia si riunisce esattamente una volta, dimostrare che n è congruente a 1 o 3 mod 6.

Un gruppo di persone $n$ notò che, per un certo periodo di tempo, tre di loro potrebbero andare a cena insieme, ogni coppia si riunisce esattamente a una cena. Prova che $n\equiv 1$ o $n\equiv 3(\mathrm{mod}6)$.

src_pol_1997_r1__Q12