Olimpiade Matematica Polacca 1997 — Round 3

Recurrence with x_6=144 and x_{n+3}=x_{n+2}(x_{n+1}+x_n); find x_7.

Positive integers $x_1,x_2,\dots ,x_7$ satisfy $x_{n+3}=x_{n+2}(x_{n+1}+x_n)$ for $n=1,2,3,4$. If $x_6=144$, find $x_7$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricorrenza con x_6=144 e x_{n+3}=x_{n+2}(x_{n+1}+x_n); trovare x_7.

I numeri interi positivi $x_1,x_2,\dots ,x_7$ soddisfano $x_{n+3}=x_{n+2}(x_{n+1}+x_n)$ per $n=1,2,3,4$. Se $x_6=144$, trovare $x_7$.

src_pol_1997_r3__Q01

Find all real triples (x,y,z) satisfying two symmetric polynomial equations.

Find all triples $(x,y,z)$ of real numbers satisfying $3(x^2+y^2+z^2)=1,$ $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2=xyz(x+y+z{)}^3.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti i tripli reali (x,y,z) che soddisfano due equazioni polinomiche simmetriche.

Trova tutti i triples $(x,y,z)$ dei numeri reali che soddisfano $3(x^2+y^2+z^2)=1,$ $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2=xyz(x+y+z{)}^3.$

src_pol_1997_r3__Q02

Medians of three faces of a tetrahedron from D make equal angles with their edges; prove an area inequality.

The medians of the faces $ABD,ACD,BCD$ of a tetrahedron $ABCD$ taken from $D$ make equal angles with the edges they were led to. Prove that the area of each of the faces $ABD,ACD,BCD$ is less than the sum of the areas of the remaining two.

Topic: Geometria solida Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I medi di tre facce di un tetraedro da D fanno angoli uguali con i loro bordi; dimostrano una disuguaglianza di superficie.

I media delle facce $ABD,ACD,BCD$ di un tetraedro $ABCD$ prelevati da $D$ fanno angoli uguali ai bordi a cui sono stati portati. Prova che la superficie di ciascuna faccia $ABD,ACD,BCD$ è inferiore alla somma delle aree delle altre due.

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Sequence with a_1=0, a_n = a_{floor(n/2)} + (-1)^{n(n+1)/2}; count indices n in [2^k, 2^{k+1}) with a_n=0.

Consider the sequence given by $a_1=0$ and $a_n=a_{\lfloor n/2\rfloor }+(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}$ for $n>1$. For each integer $k\ge 0$, find the number of indices $n$ with $2^k\le n<2^{k+1}$ such that $a_n=0$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza con a_1=0, a_n = a_{floor(n/2)} + (-1)^{n(n+1)/2}; indici di conteggio n in [2^k, 2^{k+1}) con a_n=0.

Considera la sequenza data da $a_1=0$ e $a_n=a_{\lfloor n/2\rfloor }+(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}$ per $n>1$. Per ogni numero intero $k\ge 0$, trovare il numero di indici $n$ con $2^k\le n<2^{k+1}$ tale che $a_n=0$.

src_pol_1997_r3__Q04

Convex pentagon ABCDE with DC=DE, angle DCB=angle DEA=90 deg; F on AB with AF:BF=AE:BC; prove two angle equalities.

A convex pentagon $ABCDE$ with $DC=DE$ and $\angle DCB=\angle DEA=90^{\circ }$ is given. Let $F$ be a point on the segment $AB$ such that $AF:BF=AE:BC$. Prove that $\angle FCE=\angle ADE\text{and}\angle FEC=\angle BDC.$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCDE pentagono convex con DC=DE, angolo DCB=angolo DEA=90 deg; F su AB con AF:BF=AE:BC; dimostrare due ugualità angolari.

Si dà un pentagono convexo $ABCDE$ con $DC=DE$ e $\angle DCB=\angle DEA=90^{\circ }$. Il segmento $AB$ deve contenere un punto $F$ in modo tale che $AF:BF=AE:BC$. Provare che $\angle FCE=\angle ADE\text{and}\angle FEC=\angle BDC.$

src_pol_1997_r3__Q05

n points on a unit circle; q = number of segments with endpoints among the points of length greater than sqrt 2; prove 3q <= n^2.

Let be given $n$ distinct points on a circle of radius $1$. Let $q$ be the number of the segments with endpoints in the given points whose length is greater than $\sqrt{2}$. Prove that $3q\le n^2$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

n punti su un cerchio unitario; q = numero di segmenti con punti terminali tra i punti di lunghezza superiori a sqrt 2; prova 3q <= n^2.

Si devono dare $n$ punti distinti su un cerchio di raggio $1$. Il $q$ è il numero dei segmenti con punti terminali nei punti dati la cui lunghezza è superiore a $\sqrt{2}$. Prove che $3q\le n^2$.

src_pol_1997_r3__Q06