Olimpiade Matematica Polacca 1998 — Round 1

Solve a system of two equations involving absolute values

Solve the system of equations: $|x-y|-\frac{|y|}{x}=-1,$ $|2x-y|+|x+y-1|+|x-y|-y+x-1=0.$

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un sistema di due equazioni che coinvolgono valori assoluti

Risolvere il sistema di equazioni: $|x-y|-\frac{|y|}{x}=-1,$ $|2x-y|+|x+y-1|+|x-y|-y+x-1=0.$

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Orthocenter and circumcenter equidistant from a vertex; find angle CAB

Let $H$ be the orthocenter of a triangle inscribed in a circle with center $O$. Given that $AO=AH$, find the measure of $\angle CAB$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Orthocenter e circumcenter equidistanti da una vertice; trovare angolo CAB

Che $H$ sia l’ortocentro di un triangolo inciso in un cerchio con centro $O$. Poiché $AO=AH$, trovare la misura di $\angle CAB$.

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Three sequences defined by recurrences; prove one is bounded

The sequences $(a_n)$, $(b_n)$, $(x_n)$ are given by $a_1=4$ and for $n\ge 1$, $a_{n+1}=a_n(a_n-1),2^{b_n}=a_n,2^{x_n-x_{n-1}}=b_n.$ Prove that the sequence $(x_n)$ is bounded.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tre sequenze definite da ricorrenze; dimostrare che una è limitata

Le sequenze $(a_n)$, $(b_n)$, $(x_n)$ sono indicate da $a_1=4$ e per $n\ge 1$, $a_{n+1}=a_n(a_n-1),2^{b_n}=a_n,2^{x_n-x_{n-1}}=b_n.$ Provare che la sequenza $(x_n)$ è delimitata.

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Find all real c making an inequality hold for all positive x, y

Let $a$ be a positive number. Determine all real numbers $c$ with the property that, for any positive numbers $x$, $y$, the following inequality holds: $(c-1)x^{c+1}\le (cy-x)y^a.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le c reali facendo una disuguaglianza per tutte le x positive, y

Il numero $a$ è positivo. Determinare tutti i numeri reali $c$ con la proprietà che, per qualsiasi numero positivo $x$, $y$, ha la seguente disuguaglianza: $(c-1)x^{c+1}\le (cy-x)y^a.$

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Solve a trigonometric equation depending on a positive integer n

Solve the equation $|{\tan }^{2}x-{\cot }^{2}x|=2n|\cot 2x|$, where $n$ is a given positive integer.

Topic: Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Solvi un’equazione trigonometrica a seconda di un intero positivo n

Risolvere l’equazione $|{\tan }^{2}x-{\cot }^{2}x|=2n|\cot 2x|$, dove $n$ è un dato numero intero positivo.

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Triangle with midpoint D and projections P, Q onto AD; prove BE=AE+AC iff AD=PQ

In a triangle $ABC$ with $AB>AC$, $D$ is the midpoint of $BC$ and $E$ is an arbitrary point on side $AC$. Points $P$ and $Q$ are the orthogonal projections of $B$ and $E$ onto $AD$, respectively. Show that $BE=AE+AC$ if and only if $AD=PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con punto medio D e proiezioni P, Q su AD; dimostrare BE=AE+AC se AD=PQ

In un triangolo $ABC$ con $AB>AC$, $D$ è il punto medio di $BC$ e $E$ è un punto arbitrario sul lato $AC$. I punti $P$ e $Q$ sono rispettivamente le proiezioni ortogonali di $B$ e $E$ su $AD$. Indicare che $BE=AE+AC$ se e solo se $AD=PQ$.

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Count functions f: A→A with f(f(k))=f(k) taking exactly m values

Let $m,n$ be given positive integers and $A=\{1,2,\dots ,n\}$. Determine the number of functions $f:A\to A$ taking exactly $m$ values such that $f(f(k))=f(k)\le f(l)\text{for all }k,l\in A\text{ with }k\le l.$

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzioni di conteggio f: A→A con f(f(k))=f(k) che assumono esattamente i valori m

Si devono dare $m,n$ integri positivi e $A=\{1,2,\dots ,n\}$. Determinare il numero di funzioni $f:A\to A$ che assumono esattamente i valori $m$ in modo tale che $f(f(k))=f(k)\le f(l)\text{for all }k,l\in A\text{ with }k\le l.$

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Existence of a convex polyhedron with k edges and a plane cutting r edges with 3r>2k

Determine if there exists a convex polyhedron having exactly $k$ edges and a plane not passing through any vertex and cutting $r$ edges such that $3r>2k$.

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Esistenza di un poliedro convexo con bordi k e di un piano di taglio con bordi r con 3r>2k

Determinare se esiste un poliedro converso con bordi $k$ e un piano che non attraversa alcuna vertice e taglia bordi $r$ in modo tale da $3r>2k$.

src_pol_1998_r1__Q08

Sequence with a_0=0.91 and repeated-9 decimals; compute a product

Define $a_0=0.91$ and $a_n=0.99\underset{n}{\underbrace{9\dots 9}}00$ for $k>0$. Compute $\lim a_0{a}_1\cdots a_n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza con a_0=0,91 e decimali ripetitivi-9; calcolare un prodotto

Definire $a_0=0.91$ e $a_n=0.99\underset{n}{\underbrace{9\dots 9}}00$ per $k>0$. Calcolare $\lim a_0{a}_1\cdots a_n$.

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Medians of one triangle equal sides of another; prove ABC equilateral

The medians $AD$, $BE$, $CF$ of a triangle $ABC$ meet at $G$. Prove that if the quadrilaterals $AFGE$ and $BDGF$ are cyclic, then the triangle $ABC$ is equilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Mediani di un triangolo pari lati di un altro; dimostrare ABC equilaterale *

I media $AD$, $BE$, $CF$ di un triangolo $ABC$ si incontrano a $G$. Prova che se i quadrilaterali $AFGE$ e $BDGF$ sono ciclici, il triangolo $ABC$ è equilaterale.

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Tournament: prove existence of a player beating every other directly or via one intermediate

In a tennis tournament $n$ players took part. Any two players played a match (no draws). Prove that there is a player $A$ such that for any other player $B$, either $A$ defeated $B$ or there is a player $C$ whom $A$ defeated and $B$ lost to $C$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Grafi Abilita: Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Torneo: prova dell’esistenza di un giocatore che si batte direttamente o tramite un intermediario

In un torneo di tennis $n$ parteciparono giocatori. Qualsiasi due giocatori hanno giocato una partita (senza pareggio). Prove che esiste un giocatore $A$ tale che per qualsiasi altro giocatore $B$, sia $A$ sconfitto $B$ o che vi sia un giocatore $C$ che $A$ ha sconfitto e $B$ perso a $C$.

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Greatest prime divisor of polynomial values; finiteness of the resulting set

Let $g(k)$ denote the greatest prime divisor of an integer $k$ if $|k|\ge 2$, and $g(0)=g(1)=1$. Find if there exists a non-constant polynomial $W$ with integer coefficients such that the set $\{g(W(x))\mid x\in \mathbb{Z}\}$ is finite.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il più grande primo divisore dei valori polinomici; finità dell’insieme risultante

$g(k)$ indichi il più grande primo divisore di un intero $k$ se $|k|\ge 2$, e $g(0)=g(1)=1$. Trova se esiste un polinomio non costante $W$ con coefficienti interi in modo che l’insieme $\{g(W(x))\mid x\in \mathbb{Z}\}$ sia finito.

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