Olimpiade Matematica Polacca 1998 — Round 2

Prove or disprove existence of functions f,g on A_n satisfying given composition conditions

Let $A_n=\{1,2,\dots ,n\}$. Prove or disprove: For all integers $n\ge 2$ there exist functions $f,g:A_n\to A_n$ which satisfy $f(f(k))=g(g(k))=k\text{for }1\le k\le n,\text{and}$ $g(f(k))=k+1\text{for }1\le k\le n-1.$

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove o respingere l’esistenza di funzioni f,g su A_n che soddisfano determinate condizioni di composizione

Let $A_n=\{1,2,\dots ,n\}$. Prova o smentire: per tutti gli integri $n\ge 2$ esistono funzioni $f,g:A_n\to A_n$ che soddisfano $f(f(k))=g(g(k))=k\text{for }1\le k\le n,\text{and}$ $g(f(k))=k+1\text{for }1\le k\le n-1.$

src_pol_1998_r2__Q01

Triangle with obtuse angle C and A=2B; line through B perpendicular to BC meets AC at D; M midpoint of AB; prove angle AMC = angle BMD

Let $ABC$ be a triangle with an obtuse angle $\angle C$ and $\angle A=2\angle B$. The line through $B$ perpendicular to $BC$ intersects line $AC$ at $D$. If $M$ is the midpoint of $AB$, prove that $\angle AMC=\angle BMD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con angolo obtuso C e A=2B; linea attraverso B perpendicolare a BC incontra AC a D; M punto medio di AB; prova angolo AMC = angolo BMD

Il $ABC$ deve essere un triangolo con un angolo obtuso $\angle C$ e $\angle A=2\angle B$. La linea attraverso $B$ perpendicolare a $BC$ interseca la linea $AC$ a $D$. Se $M$ è il punto medio di $AB$, provare che $\angle AMC=\angle BMD$.

src_pol_1998_r2__Q02

Inequality for six positive numbers with sum 1 given a lower bound on ace+bdf, plus equality case

(a) If $a,b,c,d,e,f$ are positive numbers with sum 1 and $ace+bdf\ge \frac{1}{108}$, show that $abc+bcd+cde+def+efa+fab\le \frac{1}{36}.$ (b) Are there different positive numbers $a,b,c,d,e,f$ with sum 1 for which the two above inequalities become equalities?

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza per sei numeri positivi con somma 1 data un limite inferiore su ace+bdf, più caso di uguaglianza

(a) Se $a,b,c,d,e,f$ sono numeri positivi con la somma 1 e $ace+bdf\ge \frac{1}{108}$, mostrare che $abc+bcd+cde+def+efa+fab\le \frac{1}{36}.$ (b) Esistono diversi numeri positivi $a,b,c,d,e,f$ con la somma 1 per i quali le due disuguaglianze di cui sopra diventano uguaglianze?

src_pol_1998_r2__Q03

Find all integer pairs (x,y) satisfying x^2+3y^2=1998x

Find all pairs of integers $(x,y)$ satisfying $x^2+3y^2=1998x$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi (x,y) che soddisfano x^2+3y^2=1998x

Trova tutte le coppie di integri $(x,y)$ che soddisfano $x^2+3y^2=1998x$.

src_pol_1998_r2__Q04

For 7 pairs of nonnegative reals with a_i+b_i<=2, find two indices k,m with |a_k-a_m|+|b_k-b_m|<=1

Suppose that $a_1,\dots ,a_7,b_1,\dots ,b_7$ are nonnegative real numbers such that $a_i+b_i\le 2$ for all $i$. Prove that there are two different indices $k,m$ such that $|a_k-a_m|+|b_k-b_m|\le 1.$

Topic: Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

• 7 coppie di reali non-negativi con a_i+b_i<=2, trovare due indici k,m con \a_k-a_m_lease\b_k-b_m_lease<=1*

Supponiamo che $a_1,\dots ,a_7,b_1,\dots ,b_7$ siano numeri reali non negativi come $a_i+b_i\le 2$ per tutti $i$. Prova che esistono due indici $k,m$ diversi in modo tale che $|a_k-a_m|+|b_k-b_m|\le 1.$

src_pol_1998_r2__Q05

Edges AB and CD of tetrahedron ABCD are perpendicular iff a parallelogram CDPQ exists with PA=PB=PD and QA=QB=QC

Prove that the edges $AB$ and $CD$ of a tetrahedron $ABCD$ are perpendicular if and only if there exists a parallelogram $CDPQ$ such that $PA=PB=PD$ and $QA=QB=QC$.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le estremità AB e CD del tetraedro ABCD sono perpendicolari se esiste un parallelo CDPQ con PA=PB=PD e QA=QB=QC

Dimostrare che i bordi $AB$ e $CD$ di un tetraedro $ABCD$ sono perpendicolari se e solo se esiste un parallelo $CDPQ$ tale che $PA=PB=PD$ e $QA=QB=QC$.

src_pol_1998_r2__Q06