Olimpiade Matematica Polacca 1998 — Round 3

Find positive integers a,b,c,x,y,z satisfying two symmetric equations

Find all positive integers $a,b,c,x,y,z$ with $a\ge 2$, $b\ge 2$, $c\ge 2$, $x\ge y\ge z$ which satisfy $a+b+c=xyz,x+y+z=abc.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri interi positivi a,b,c,x,y,z che soddisfano due equazioni simmetriche

Trova tutti gli integri positivi $a,b,c,x,y,z$ con $a\ge 2$, $b\ge 2$, $c\ge 2$, $x\ge y\ge z$ che soddisfano $a+b+c=xyz,x+y+z=abc.$

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Fibonacci-based sequence: find all n≥4 where term equals 1

The Fibonacci sequence $(F_n)$ is given by $F_0=F_1=1$ and $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ for $n\ge 0$. For an integer $n\ge 4$, consider the sequence defined by $a_0=\frac{F_0}{F_n},a_{k+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{2a_k}{1-a_k}& \text{for }{a}_k\ne 1,\\ a_k& \text{for }{a}_k=1,\end{array}k=0,1,2,\dots$ Find all integers $n\ge 4$ for which the number $1$ is a member of the sequence $(a_k)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza a base di Fibonacci: trovare tutti n≥4 dove il termine è uguale a 1

La sequenza di Fibonacci $(F_n)$ è data da $F_0=F_1=1$ e $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ per $n\ge 0$. Per un numero intero $n\ge 4$, considera la sequenza definita da $a_0=\frac{F_0}{F_n},a_{k+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{2a_k}{1-a_k}& \text{for }{a}_k\ne 1,\\ a_k& \text{for }{a}_k=1,\end{array}k=0,1,2,\dots$ Trova tutti i numeri interi $n\ge 4$ per i quali il numero $1$ è un membro della sequenza $(a_k)$.

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Pentagon base of pyramid: diagonal intersections of five trapezoids are coplanar

A convex pentagon $ABCDE$ is the base of a pyramid $ABCDES$. A plane, not passing through any vertex of the pyramid, meets the edges $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$ at points $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$, $E^{\prime }$ respectively. Prove that the intersection points of the diagonals of the quadrilaterals $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$, $DE{E}^{\prime }{D}^{\prime }$, $EA{A}^{\prime }{E}^{\prime }$ are coplanar.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Pentagono base della piramide: intersezioni diagonali di cinque trapezioni sono coplanari

Un pentagono converso $ABCDE$ è la base di una piramide $ABCDES$. Un piano che non attraversa nessuna vertica della piramide incontra i bordi $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$ rispettivamente nei punti $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$ e $E^{\prime }$. Prova che i punti di intersezione dei diagonali dei quadrilaterali $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$, $DE{E}^{\prime }{D}^{\prime }$, $EA{A}^{\prime }{E}^{\prime }$ sono coplanari.

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Sequence with a_0=a_1 and Fibonacci recurrence: infinitely many terms divisible by 7

Show that the sequence $(a_n)$ defined by $a_0=a_1$ and $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ for $n\ge 2$ contains infinitely many terms divisible by $7$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione, Invarianti, Principio dei cassetti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza con a_0=a_1 e ricorrenza di Fibonacci: infiniti termini divisibili per 7

Mostra che la sequenza $(a_n)$ definita da $a_0=a_1$ e $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ per $n\ge 2$ contiene infiniti termini divisibili da $7$.

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Points D,E on side AB with ratio AC²/CB²: prove equal angles ACD and BCE

Points $D$ and $E$ lie on the side $AB$ of a triangle $ABC$ and satisfy $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EB}=\frac{A{C}^2}{C{B}^2}.$ Prove that $\angle ACD=\angle BCE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti D,E sul lato AB con rapporto AC2/CB2: dimostrare angoli uguali ACD e BCE

I punti $D$ e $E$ si trovano sul lato $AB$ di un triangolo $ABC$ e soddisfano $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EB}=\frac{A{C}^2}{C{B}^2}.$ Prove che $\angle ACD=\angle BCE$.

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Chessboard in circle: change signs in rows/columns/diagonals; reach –1 in exactly one square?

Consider unit squares in the plane whose vertices have integer coordinates. Let $S$ be the chessboard consisting of all unit squares lying entirely inside the circle $x^2+y^2\le 1998^2$. In every square of the chessboard $S$ a number is written. In every move, we may change the sign of all numbers in a row, column, or diagonal of $S$ (a diagonal consists of all unit squares lying on a line which forms an angle of $45^{\circ }$ with the axes). Is it possible to have $-1$ in exactly one unit square of $S$ after finitely many moves?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tavola d’ scacchi in cerchio: cambia i segni nelle righe/colonne/diagonali; raggiunge 1 in esattamente un quadrato?

Considerate i quadrati di unità nel piano le cui vertici hanno coordinate interi. Che $S$ sia la scacchiera costituita da tutti i quadrati unitari che si trovano interamente all’interno del cerchio $x^2+y^2\le 1998^2$. In ogni quadrato della scacchiera $S$ è scritto un numero. In ogni mossa, possiamo cambiare il segno di tutti i numeri in una riga, colonna o diagonale di $S$ (una diagonale è costituita da tutti i quadrati unitari che si trovano su una linea che forma un angolo di $45^{\circ }$ con gli assi). È possibile avere $-1$ in esattamente un’unità quadrata di $S$ dopo infinite mosse?

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