Olimpiade Matematica Polacca 1999 — Round 1

Prove infinitely many of the numbers 50^n+(50n+1)^50 are composite.

Prove that among the numbers $50^n+(50n+1{)}^{50}$, where $n\in \mathbb{N}$, there are infinitely many composite numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove infinitamente che molti dei numeri 50^n+(50n+1)^50 sono composti.

Prova che tra i numeri $50^n+(50n+1{)}^{50}$, dove $n\in \mathbb{N}$, ci sono infinitamente molti numeri composti.

src_pol_1999_r1__Q01

Prove the inequality (a+b+c+d)^2 <= 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab.

If $a,b,c,d$ are real numbers, prove the inequality $(a+b+c+d{)}^2\le 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza (a+b+c+d)^2 <= 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab.

Se $a,b,c,d$ sono numeri reali, dimostrare la disuguaglianza $(a+b+c+d{)}^2\le 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab.$

src_pol_1999_r1__Q02

Right isosceles triangle, D on BC with BD=2CD, E projection of B onto AD; compute angle CED.

Let $ABC$ be an isosceles triangle with $\angle A=90^{\circ }$. Point $D$ is taken on side $BC$ such that $BD=2CD$, and $E$ is the projection of $B$ onto the line $AD$. Compute $\angle CED$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo a destra con uguale occhiaio, D su BC con BD=2CD, E proiezione di B su AD; angolo di calcolo CED.

Che $ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni con $\angle A=90^{\circ }$. Il punto $D$ è preso sul lato $BC$ in modo tale che $BD=2CD$, e $E$ è la proiezione di $B$ sulla linea $AD$. Calcolo $\angle CED$.

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If x+y, x^2+y^2, x^3+y^3, x^4+y^4 are integers, prove x^n+y^n is an integer for all n.

Suppose that $x,y$ are real numbers such that $x+y$, $x^2+y^2$, $x^3+y^3$, and $x^4+y^4$ are integers. Prove that $x^n+y^n$ is an integer for all $n\in \mathbb{N}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Se x+y, x^2+y^2, x^3+y^3, x^4+y^4 sono numeri interi, dimostra che x^n+y^n è un intero per tutti n.

Supponiamo che $x,y$ siano numeri reali in modo che $x+y$, $x^2+y^2$, $x^3+y^3$ e $x^4+y^4$ siano interi. Provare che $x^n+y^n$ è un numero intero per tutti $n\in \mathbb{N}$.

src_pol_1999_r1__Q04

Determine all positive integers x,y satisfying y^x = x^{50}.

Determine all positive integers $x,y$ satisfying $y^x=x^{50}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determina tutti gli integri positivi x,y soddisfacendo y^x = x^{50}.

Determinare tutti gli integri positivi $x,y$ soddisfaci $y^x=x^{50}$.

src_pol_1999_r1__Q05

Convex quadrilateral diagonals meet at P, M midpoint of AB, MP meets CD at Q; prove [BCP]:[ADP]=CQ:DQ.

Diagonals $AC$ and $BD$ of a convex quadrilateral $ABCD$ meet at $P$. Let $M$ be the midpoint of $AB$ and let the line $MP$ meet $CD$ at $Q$. Prove that the ratio of the areas of the triangles $BCP$ and $ADP$ equals $CQ:DQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Diagonali quadrilaterali convex si incontrano a P, M al punto medio di AB, MP si incontrano a CD a Q; prova [BCP]:[ADP]=CQ:DQ.

Le diagonali $AC$ e $BD$ di un quadrilaterale converso $ABCD$ si incontrano a $P$. La linea $MP$ deve incontrare $CD$ al punto medio di $AB$. Prova che il rapporto tra le superfici dei triangoli $BCP$ e $ADP$ è uguale a $CQ:DQ$.

src_pol_1999_r1__Q06

Find all degree-n polynomials with exactly n real roots not exceeding -1 satisfying a_0^2+a_1 a_n=a_n^2+a_0 a_{n-1}.

Let $n\ge 2$ be an integer. Find all polynomials $P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ having exactly $n$ real roots not exceeding $-1$ and satisfying $a_0^2+a_1{a}_n=a_n^2+a_0{a}_{n-1}.$

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i polinomi di grado n con esattamente n radici reali non superiori a -1 soddisfacendo a_0^2+a_1 a_n=a_n^2+a_0 a_{n-1}.

$n\ge 2$ sia un numero intero. Trova tutti i polinomi $P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ con radici reali $n$ non superiori a $-1$ e soddisfacente $a_0^2+a_1{a}_n=a_n^2+a_0{a}_{n-1}.$

src_pol_1999_r1__Q07

Set S of n>=2 elements: find smallest k such that k subsets exist where any two distinct elements are separated by some A_j.

Let $S$ be a set of $n\ge 2$ elements. Find the smallest $k$ for which there exist subsets $A_1,A_2,\dots ,A_k$ of $S$ with the following property: For any two elements $a,b\in S$ there exists $j\in \{1,2,\dots ,k\}$ such that $A_j$ contains exactly one of the elements $a,b$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

insieme S di n>=2 elementi: trovare il più piccolo k tale che esistano sottoinsiemi k dove due elementi distinti sono separati da qualche A_j.

Si deve $S$ essere un insieme di elementi $n\ge 2$. Trova la $k$ più piccola per la quale esistono sottoinsiemi $A_1,A_2,\dots ,A_k$ di $S$ con la seguente proprietà: Per due elementi $a,b\in S$ esiste $j\in \{1,2,\dots ,k\}$ tale che $A_j$ contiene esattamente uno degli elementi $a,b$.

src_pol_1999_r1__Q08

D,E,F on sides of triangle ABC; incircles of AEF, CA, AB triangles tangent to incircle of DEF; prove AD, BE, CF concurrent.

Suppose that $D,E,F$ are points on the sides $BC,CA,AB$ of a triangle $ABC$ respectively such that the incircles of the triangles $AEF$, $BFD$, $CDE$ are tangent to the incircle of the triangle $DEF$. Show that the lines $AD$, $BE$, $CF$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

D,E,F sui lati del triangolo ABC; incircoli dei triangoli AEF, CA, AB tangenti all’incircolo di DEF; dimostrare che AD, BE, CF sono simultanei.

Supponiamo che $D,E,F$ siano punti sui lati $BC,CA,AB$ di un triangolo $ABC$ rispettivamente in modo tale che gli incircoli dei triangoli $AEF$, $BFD$, $CDE$ siano tangenti al circolo del triangolo $DEF$. Indicare che le righe $AD$, $BE$, $CF$ sono simultanee.

src_pol_1999_r1__Q09

Sequence x_{n+1}=x_n+1/x_n^2; prove lim x_n/cuberoot(3n) exists and find it.

Given $x_1>0$, the sequence $(x_n)$ is defined by $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n^2}\text{for }n\ge 1.$ Prove that the limit $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{\sqrt[3]{n}}$ exists and find it.

Topic: Algebra Metodo: Telescoping, Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza x_{n+1}=x_n+1/x_n^2; provare l’esistenza di lim x_n/cuberoot(3n) e trovarla.

Date $x_1>0$, la sequenza $(x_n)$ è definita da $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n^2}\text{for }n\ge 1.$ Prove che il limite $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{\sqrt[3]{n}}$ esiste e trova.

src_pol_1999_r1__Q10

Urn Polya scheme: white+black ball plus 50 white and 50 black; 50 times draw and return with extra same-color ball; most probable number of white balls.

There are a white ball and a black ball in an urn. In addition, we are given 50 white and 50 black balls. We repeat the following procedure 50 times: we choose at random one ball from the urn and return it to the urn together with another ball of the same color. What will be the most probable numbers of white balls in the urn?

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Schema di Urn Polya: pallone bianco+nero più 50 bianchi e 50 neri; 50 volte a tiratura e ritorno con pallone extra dello stesso colore; numero più probabile di pallone bianche.

C’è una palla bianca e una palla nera in un’urna. Inoltre, ci sono state date 50 palle bianche e 50 nere. Ripetiamo la seguente procedura 50 volte: scegliamo casualmente una palla dall’urna e la restituiamo all’urna insieme ad un’altra palla dello stesso colore. Qual e’ il numero piu’ probabile di sfere bianche nell’urna?

src_pol_1999_r1__Q11

All vertices of a cube of edge a lie on the surface of a regular tetrahedron of edge 1; find all possible a.

All vertices of a cube of edge $a$ lie on the surface of a regular tetrahedron of edge $1$. Find all possible values of $a$.

Topic: Geometria solida Metodo: Casework, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tutti i vertici di un cubo di bordo si trovano sulla superficie di un tetraedro regolare di bordo 1; trovare tutte le possibili a.

Tutti i vertici di un cubo di bordo $a$ si trovano sulla superficie di un tetraedro regolare di bordo $1$. Trova tutti i valori possibili di $a$.

src_pol_1999_r1__Q12