Olimpiade Matematica Polacca 1999 — Round 2

Show no increasing g,h give f=g-h for a function with f(1/n)=(-1)^n.

Let $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ be a function such that $f(1/n)=(-1{)}^n$ for all $n\in \mathbb{N}$. Prove that there are no increasing functions $g,h:(0,1)\to \mathbb{R}$ such that $f=g-h$.

Topic: Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Non mostrare aumento di g,h dare f=g-h per una funzione con f(1/n)=(-1)^n.

Che $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ sia una funzione tale che $f(1/n)=(-1{)}^n$ per tutti $n\in \mathbb{N}$. Provare che non esistono funzioni in aumento $g,h:(0,1)\to \mathbb{R}$ tali da $f=g-h$.

src_pol_1999_r2__Q01

A piece is a 2-cube with a corner unit cube removed; show a 2^n cube minus one unit cube can be cut into pieces.

A cube of edge $2$ with one of the corner unit cubes removed is called a piece. Prove that if a cube $T$ of edge $2^n$ is divided into $2^{3n}$ unit cubes and one of the unit cubes is removed, then the rest can be cut into pieces.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Un pezzo è un cubo di 2 cubi con un cubo di unità angolare rimosso; mostrare un cubo di 2^n meno un cubo di unità può essere tagliato in pezzi.

Un cubo di bordo $2$ con uno dei cubetti unitari di angolo rimosso si chiama pezzo. Prova che se un cubo $T$ di bordo $2^n$ è diviso in cubi unitari $2^{3n}$ e uno dei cubi unitari viene rimosso, il resto può essere tagliato in pezzi.

src_pol_1999_r2__Q02

Cyclic quadrilateral with E,F on AB,CD and P on EF; ratio of areas of APD and BPC is independent of E,F.

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral and let $E$ and $F$ be the points on the sides $AB$ and $CD$ respectively such that $AE:EB=CF:FD$. Point $P$ on the segment $EF$ satisfies $EP:PF=AB:CD$. Prove that the ratio of the areas of $△APD$ and $△BPC$ does not depend on the choice of $E$ and $F$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero ciclico con E,F su AB,CD e P su EF; il rapporto tra le aree di APD e BPC è indipendente da E,F.

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale ciclico e $E$ e $F$ devono essere i punti sui lati $AB$ e $CD$ rispettivamente tali da $AE:EB=CF:FD$. Il punto $P$ del segmento $EF$ soddisfa $EP:PF=AB:CD$. Prove che il rapporto tra le superfici di $△APD$ e $△BPC$ non dipende dalla scelta di $E$ e $F$.

src_pol_1999_r2__Q03

Interior point P with angle conditions; if O (circumcenter) differs from P, prove angle APO is right.

Let $P$ be a point inside a triangle $ABC$ such that $\angle PAB=\angle PCA$ and $\angle PAC=\angle PBA$. If $O\ne P$ is the circumcenter of $△ABC$, prove that $\angle APO$ is right.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto interno P con condizioni angolari; se O (circumcentro) differisce da P, dimostrare che l’angolo APO è corretto.

$P$ deve essere un punto all’interno di un triangolo $ABC$ tale che $\angle PAB=\angle PCA$ e $\angle PAC=\angle PBA$. Se $O\ne P$ è il centro circundante di $△ABC$, dimostrare che $\angle APO$ è corretto.

src_pol_1999_r2__Q04

Count functions f:S->S on S={1,2,3,4,5} with f^{50}(x)=x for all x.

Let $S=\{1,2,3,4,5\}$. Find the number of functions $f:S\to S$ such that $f^{50}(x)=x$ for all $x\in S$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Conteggi funzioni f:S->S su S={1,2,3,4,5} con f^{50}(x)=x per tutte le x.

Let $S=\{1,2,3,4,5\}$. Trova il numero di funzioni $f:S\to S$ tale da $f^{50}(x)=x$ per tutte le $x\in S$.

src_pol_1999_r2__Q05

Integers with vanishing weighted power sums for i=1..k-1; prove the k-th weighted sum is divisible by k!.

Suppose that $a_1,a_2,\dots ,a_n$ are integers such that $a_1+2^i{a}_2+3^i{a}_3+\cdots +n^i{a}_n=0\text{for }i=1,2,\dots ,k-1,$ where $k\ge 2$ is a given integer. Prove that $a_1+2^k{a}_2+3^k{a}_3+\cdots +n^k{a}_n$ is divisible by $k!$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Integri con somma di potenza ponderata scomparsa per i=1..k-1; dimostrare che la somma ponderata k è divisibile da k!.

Supponiamo che $a_1,a_2,\dots ,a_n$ siano numeri interi tali che $a_1+2^i{a}_2+3^i{a}_3+\cdots +n^i{a}_n=0\text{for }i=1,2,\dots ,k-1,$ dove $k\ge 2$ è un dato intero. Prova che $a_1+2^k{a}_2+3^k{a}_3+\cdots +n^k{a}_n$ è divisibile per $k!$.

src_pol_1999_r2__Q06