Olimpiade Matematica Polacca 1999 — Round 3

Point D on side BC with AD>BC; choose E on AC so AE/EC=BD/(AD-BC); prove AD>BE.

Point $D$ is taken on the side $BC$ of a triangle $ABC$ such that $AD>BC$. Let $E$ be a point on the side $AC$ such that $\frac{AE}{EC}=\frac{BD}{AD-BC}$. Show that $AD>BE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto D sul lato BC con AD>BC; scegliere E su AC in modo che AE/EC=BD/(AD-BC); prova AD>BE.

Il punto $D$ è preso sul lato $BC$ di un triangolo $ABC$ in modo tale che $AD>BC$. Il punto $E$ deve essere un punto sul lato $AC$ tale che $\frac{AE}{EC}=\frac{BD}{AD-BC}$. Mostra che $AD>BE$.

src_pol_1999_r3__Q01

Among integers 0<a_1<…<a_100<5050 find four distinct with a_k+a_l-a_m-a_n divisible by 5050.

Let $0<a_1<a_2<\cdots <a_{100}<5050$ be integers. Prove that there exist four different numbers $a_k,a_l,a_m,a_n$ such that $a_k+a_l-a_m-a_n$ is divisible by $5050$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tra i numeri interi 0<a_1<…<a_100<5050 trovate quattro distinti con a_k+a_l_a_m_a_n divisibile per 5050.*

$0<a_1<a_2<\cdots <a_{100}<5050$ siano numeri interi. Prova che esistono quattro numeri diversi $a_k,a_l,a_m,a_n$ in modo tale che $a_k+a_l-a_m-a_n$ sia divisibile da $5050$.

src_pol_1999_r3__Q02

S(x)=digit sum; show there exist n_1<…<n_50 with all n_i+S(n_i) equal.

Let $S(x)$ denote the sum of the digits of $x$. Show that there exist positive integers $n_1<n_2<\cdots <n_{50}$ such that $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=\cdots =n_{50}+S(n_{50}).$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

S(x) = somma di cifre; mostra che esistono n_1<…<n_50 con tutte le n_i+S(n_i) uguali.

$S(x)$ indichi la somma delle cifre di $x$. Indicare che esistono integri positivi $n_1<n_2<\cdots <n_{50}$ tali che $n_1+S(n_1)=n_2+S(n_2)=\cdots =n_{50}+S(n_{50}).$

src_pol_1999_r3__Q03

Find all n>=2 for which the cyclic system x_i^2+x_{i+1}^2+50=16x_i+12x_{i+1} has an integer solution.

Find all integers $n\ge 2$ for which the following system has a solution in integers: $\begin{array}{rl}{x}_1^2+x_2^2+50& =16x_1+12x_2,\\ x_2^2+x_3^2+50& =16x_2+12x_3,\\ & \cdots \\ x_n^2+x_1^2+50& =16x_n+12x_1.\end{array}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le n>=2 per le quali il sistema ciclico x_i^2+x_{i+1}^2+50=16x_i+12x_{i+1} ha una soluzione integrale.

Trova tutti i numeri interi $n\ge 2$ per i quali il seguente sistema ha una soluzione in numeri interi: $\begin{array}{rl}{x}_1^2+x_2^2+50& =16x_1+12x_2,\\ x_2^2+x_3^2+50& =16x_2+12x_3,\\ & \cdots \\ x_n^2+x_1^2+50& =16x_n+12x_1.\end{array}$

src_pol_1999_r3__Q04

For integers a_i,b_i prove sum over i<j of (|a_i-a_j|+|b_i-b_j|) <= sum over all i,j of |a_i-b_j|.

If $a_i,b_i$ ($i=1,2,\dots ,n$) are integers, prove that ${\sum }_{1\le i<j\le n}\left(|a_i-a_j|+|b_i-b_j|\right)\le {\sum }_{1\le i,j\le n}|a_i-b_j|.$

Topic: Disuguaglianze, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

• numeri interi a_i,b_i provare la somma su i<j di (leswi_i_i_i_j_i+ gi_i_i_i_i_i_i) <= somma su tutti i,j di │a_i_i_i_i_i_i_i.*

Se $a_i,b_i$ ($i=1,2,\dots ,n$) sono numeri interi, dimostrare che ${\sum }_{1\le i<j\le n}\left(|a_i-a_j|+|b_i-b_j|\right)\le {\sum }_{1\le i,j\le n}|a_i-b_j|.$

src_pol_1999_r3__Q05

Convex hexagon ABCDEF with angle A+C+E=360 deg and (AB/BC)(CD/DE)(EF/FA)=1; prove (AB/BF)(FD/DE)(EC/CA)=1.

A convex hexagon $ABCDEF$ satisfies $\angle A+\angle C+\angle E=360^{\circ }\text{and}\frac{AB}{BC}\cdot \frac{CD}{DE}\cdot \frac{EF}{FA}=1.$ Prove that $\frac{AB}{BF}\cdot \frac{FD}{DE}\cdot \frac{EC}{CA}=1.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*ABCDEF esagonale convex con angolo A+C+E=360° e (AB/BC)

Un esagono converso $ABCDEF$ soddisfa $\angle A+\angle C+\angle E=360^{\circ }\text{and}\frac{AB}{BC}\cdot \frac{CD}{DE}\cdot \frac{EF}{FA}=1.$ Prove che $\frac{AB}{BF}\cdot \frac{FD}{DE}\cdot \frac{EC}{CA}=1.$

src_pol_1999_r3__Q06