Olimpiade Matematica Polacca 2000 — Round 1

Prove n divides the sum of cubes of all naturals less than n and coprime to n.

Prove that, for every integer $n\ge 3$, the sum of the cubes of all natural numbers less than $n$ and coprime with $n$ is divisible by $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove n divide la somma dei cubi di tutti i naturali inferiori a n e copriamo in n.

Prove che per ogni intero $n\ge 3$ la somma dei cubi di tutti i numeri naturali inferiori a $n$ e coprimo con $n$ è divisibile da $n$.

src_pol_2000_r1__Q01

Acute triangle with angle ACB = 2 angle ABC, D on BC with 2 angle BAD = angle ABC; prove 1/BD = 1/AB + 1/AC.

In an acute-angled triangle $ABC$ with $\angle ACB=2\angle ABC$, $D$ is the point on side $BC$ satisfying $2\angle BAD=\angle ABC$. Prove that $\frac{1}{BD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con angolo ACB = 2 angolo ABC, D su BC con 2 angolo BAD = angolo ABC; prova 1/BD = 1/AB + 1/AC.

In un triangolo a angolo acuto $ABC$ con $\angle ACB=2\angle ABC$, $D$ è il punto laterale $BC$ che soddisfa $2\angle BAD=\angle ABC$. Provare che $\frac{1}{BD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}.$

src_pol_2000_r1__Q02

For positive a,b,c summing to 1, prove a^2+b^2+c^2+2 sqrt(3abc) <= 1.

The sum of positive numbers $a,b,c$ is $1$. Prove that $a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc}\le 1$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per un a, b, c positivo sommato a 1, prova a^2+b^2+c^2+2 sqrt(3abc) <= 1.*

La somma dei numeri positivi $a,b,c$ è $1$. Prove che $a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc}\le 1$.

src_pol_2000_r1__Q03

Circle points painted in three colors; prove three same-color points form an isosceles triangle.

Each point of a circle is painted with one of three colors. Prove that there exist three points of the same color on the circle which are vertices of an isosceles triangle.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Principio dei cassetti, Casework Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Punti di cerchio dipinti in tre colori; dimostrare che tre punti dello stesso colore formano un triangolo di uguali osceles.

Ogni punto di un cerchio è dipinto con uno dei tre colori. Prove che esistono tre punti dello stesso colore sul cerchio che sono vertici di un triangolo di uguale taglia.

src_pol_2000_r1__Q04

Find all positive integer pairs (a,b) with a^3+6ab+1 and b^3+6ab+1 both cubes.

Find all pairs $(a,b)$ of positive integers such that the numbers $a^3+6ab+1$ and $b^3+6ab+1$ are cubes of positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di integri positivi (a,b) con a^3+6ab+1 e b^3+6ab+1 entrambi i cubi.

Trovare tutte le coppie $(a,b)$ di numeri interi positivi in modo tale che i numeri $a^3+6ab+1$ e $b^3+6ab+1$ siano cubetti di numeri interi positivi.

src_pol_2000_r1__Q05

X inside right triangle (angle C = 90), P,Q,R projections onto BC,CA,AB; prove ARRB = BPPC + AQQC iff X on AB.*

A point $X$ lies inside or on the boundary of the triangle $ABC$ with $\angle C=90^{\circ }$. Points $P,Q,R$ are the projections of $X$ onto $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Prove that the equality $AR\cdot RB=BP\cdot PC+AQ\cdot QC$ holds if and only if $X$ lies on the side $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

X all’interno del triangolo rettangolo (angolo C = 90), proiezioni P,Q,R su BC,CA,AB; dimostrare ARRB = BPPC + AQQC se X su AB.*

Un punto $X$ si trova all’interno o sul confine del triangolo $ABC$ con $\angle C=90^{\circ }$. I punti $P,Q,R$ sono le proiezioni di $X$ rispettivamente su $BC$, $CA$ e $AB$. Prova che l’uguaglianza $AR\cdot RB=BP\cdot PC+AQ\cdot QC$ è valida se e solo se $X$ si trova sul lato $AB$.

src_pol_2000_r1__Q06

For each positive integer n and t in (1/2,1) there exist a,b in (1999,2000) with (1/2)a^n+(1/2)b^n < (ta+(1-t)b)^n.

Show that for each positive integer $n$ and each number $t\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ there exist numbers $a,b\in (1999,2000)$ such that $\frac{1}{2}{a}^n+\frac{1}{2}{b}^n<(ta+(1-t)b{)}^n.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per ogni intero positivo n e t in (1/2,1) esistono a,b in (1999,2000) con (1/2)a^n+1/2)b^n < (ta+(1-t) b)^n.

Mostrare che per ogni numero intero positivo $n$ e per ogni numero $t\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ esistono numeri $a,b\in (1999,2000)$ tali che $\frac{1}{2}{a}^n+\frac{1}{2}{b}^n<(ta+(1-t)b{)}^n.$

src_pol_2000_r1__Q07

Functions c(n,k) with c(n,0)=c(n,n)=1 and c(n+1,k)=2^k c(n,k)+c(n,k-1); prove c(n,k)=c(n,n-k).

The functions $c(n,k)$ are defined for integers $n\ge k\ge 0$ by $c(n,0)=c(n,n)=1$ for all $n\ge 0$ and $c(n+1,k)=2^{k}c(n,k)+c(n,k-1)\text{for}n\ge k\ge 1.$ Prove that $c(n,k)=c(n,n-k)$ for all $n$ and $k$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzioni c(n,k) con c(n,0)=c(n) =1 e c(n+1,k)=2^k c(n,k)+c(n,k-1); dimostrare c(n,k)=c(n,n-k).

Le funzioni $c(n,k)$ sono definite per gli integri $n\ge k\ge 0$ da $c(n,0)=c(n,n)=1$ per tutti $n\ge 0$ e $c(n+1,k)=2^{k}c(n,k)+c(n,k-1)\text{for}n\ge k\ge 1.$ Prove che $c(n,k)=c(n,n-k)$ per tutti $n$ e $k$.

src_pol_2000_r1__Q08

Positive integers m,n with mn dividing m^2+n^2+m; prove m is a perfect square.

Suppose that positive integers $m$ and $n$ are such that $mn$ divides $m^2+n^2+m$. Prove that $m$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Interi positivi m,n con mn dividendo m^2+n^2+m; dimostrare m è un quadrato perfetto.

Supponiamo che gli integri positivi $m$ e $n$ siano tali che $mn$ divida $m^2+n^2+m$. Prova che $m$ è un quadrato perfetto.

src_pol_2000_r1__Q09

OA, OB, OC pairwise orthogonal unit vectors; line/plane through O with A’,B’,C’ projections of A,B,C; find set of values of OA’^2+OB’^2+OC’^2.

Let $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ be pairwise orthogonal unit vectors in space. Let $O$ be a variable plane through $O$, and let $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ be the projections of $A,B,C$ onto $O$. Find the set of values of $O{A}^{\prime 2}+O{B}^{\prime 2}+O{C}^{\prime 2}$ when $O$ takes all possible positions.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Vettori di unità ortogonali in coppia OA, OB, OC; linea/piano attraverso O con proiezioni A’,B’,C’ di A,B,C; trovare l’insieme dei valori di OA’^2+OB’^2+OC’^2.

Lasciate che $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ siano vettori unitari ortogonali in coppia nello spazio. Lasciate che $O$ sia un piano variabile attraverso $O$, e lasciate che $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ sia le proiezioni di $A,B,C$ su $O$. Trova l’insieme dei valori di $O{A}^{\prime 2}+O{B}^{\prime 2}+O{C}^{\prime 2}$ quando $O$ assume tutte le posizioni possibili.

src_pol_2000_r1__Q10

Set M of n^2+1 positive integers where among any n+1 two are comparable by divisibility; prove a divisibility chain a_1,…,a_{n+1} with a_{i+1} | a_i.

Let $M$ be a set of $n^2+1$ positive integers having the following property: in each $n+1$ numbers from $M$ there are two numbers, one of which divides the other. Prove that there are different elements $a_1,\dots ,a_{n+1}$ of $M$ such that $a_{i+1}\mid a_i$ for $i=1,2,\dots ,n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Set M di n^2+1 interi positivi dove tra qualsiasi n+1 due sono comparabili per divisibilità; dimostrare una catena di divisibilità a_1,…,a_{n+1} con a_{i+1} ̊ a_i.

$M$ sia un insieme di integri positivi $n^2+1$ che abbiano la seguente proprietà: in ogni numero $n+1$ da $M$ ci sono due numeri, uno dei quali divide l’altro. Dimostrare che esistono diversi elementi $a_1,\dots ,a_{n+1}$ di $M$, come $a_{i+1}\mid a_i$ per $i=1,2,\dots ,n$.

src_pol_2000_r1__Q11

D,E,F on sides BC,CA,AB of acute triangle; circumcircles of AEF, BFD, CDE meet at P; given three ratio conditions prove AD,BE,CF are altitudes.

Points $D,E,F$ are taken on the respective sides $BC,CA,AB$ of an acute-angled triangle $ABC$. The circumcircles of the triangles $AEF$, $BFD$, $CDE$ meet at point $P$. Prove that if $\frac{PD}{PE}=\frac{BD}{AE},\frac{PE}{PF}=\frac{CE}{BF},\frac{PF}{PD}=\frac{AF}{CD},$ then $AD$, $BE$, $CF$ are the altitudes of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

D,E,F sui lati BC,CA,AB del triangolo acuto; i circoncircoli di AEF, BFD, CDE si incontrano a P; date tre condizioni di rapporto dimostrano che AD,BE,CF sono altitudini.

I punti $D,E,F$ sono prelevati sui rispettivi lati $BC,CA,AB$ di un triangolo acuto $ABC$. I circoncircoli dei triangoli $AEF$, $BFD$, $CDE$ si incontrano al punto $P$. Prove che se $\frac{PD}{PE}=\frac{BD}{AE},\frac{PE}{PF}=\frac{CE}{BF},\frac{PF}{PD}=\frac{AF}{CD},$ allora $AD$, $BE$, $CF$ sono le altitudini del triangolo $ABC$.

src_pol_2000_r1__Q12