Olimpiade Matematica Polacca 2000 — Round 2

Decide whether every positive rational can be written as (a^3+b^3)/(c^3+d^3) with positive integers a,b,c,d.

Prove or disprove that every positive rational number can be written in the form $\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}$, where $a,b,c,d$ are positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Decidere se ogni razionale positivo può essere scritto come (a^3+b^3)/(c^3+d^3) con numeri interi positivi a,b,c,d.

Prove o smentire che ogni numero razionale positivo può essere scritto nella forma $\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}$, dove $a,b,c,d$ sono interi positivi.

src_pol_2000_r2__Q01

In triangle ABC the bisector of angle BAC meets the circumcircle at D; K and L are projections of B and C onto line AC; show AD >= BK+CL.

In the triangle $ABC$ the bisector of the angle $\angle BAC$ meets the circumcircle of $△ABC$ at the point $D\ne A$. If $K$ and $L$ are the projections of $B$ and $C$ onto line $AC$, respectively, show that $AD\ge BK+CL$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo ABC il bisettore dell’angolo BAC incontra il circoncircolo a D; K e L sono proiezioni di B e C sulla linea AC; mostrare AD >= BK+CL.

Nel triangolo $ABC$ il bisettore dell’angolo $\angle BAC$ incontra il circoncircolo di $△ABC$ al punto $D\ne A$. Se $K$ e $L$ sono rispettivamente le proiezioni di $B$ e $C$ sulla linea $AC$, indicare che $AD\ge BK+CL$.

src_pol_2000_r2__Q02

An n x n board holds n^2 distinct positive integers; the greatest entry in each column is red; an admissible set is n cells no two in a common row or column; prove the admissible set of greatest sum contains at least one red cell.

In the cells of the $n\times n$ board are written $n^2$ different positive integers. In each column of the chessboard the cell with the greatest number is colored red. A set $S$ of $n$ cells is called \emph{admissible} if no two cells from $S$ lie in the same column or row. Prove that the admissible set of cells with the greatest sum of numbers contains at least one red cell.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Una tabella n x n contiene n^2 diversi interi positivi; la voce più grande in ogni colonna è rossa; un insieme ammissibile è n celle non due in una riga o colonna comune; dimostrare che l’insieme ammissibile della somma più grande contiene almeno una cella rossa.

Le celle della tabella $n\times n$ sono scritte $n^2$ diversi interi positivi. In ogni colonna della scacchiera la cella con il maggior numero è di colore rosso. Un insieme $S$ di celle $n$ è chiamato \emph{admissible} se non ci sono due celle di $S$ nella stessa colonna o riga. Prove che l’insieme ammissibile di cellule con la maggior somma di numeri contiene almeno una cellula rossa.

src_pol_2000_r2__Q03

In triangle ABC with AB != AC, I is the incenter and D, E are where BI and CI meet the opposite sides; find all measures of angle BAC for which DI = EI.

In a triangle $ABC$ with $AB\ne AC$, $I$ is the incenter and $D$ and $E$ the intersection points of $BI$ and $CI$ with the opposite sides of the triangle, respectively. Find all possible measures of $\angle BAC$ for which the equality $DI=EI$ can be satisfied.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo ABC con AB != AC, I è l’incentro e D, E sono dove BI e CI incontrano i lati opposti; trovare tutte le misure dell’angolo BAC per il quale DI = EI.

In un triangolo $ABC$ con $AB\ne AC$, $I$ è l’incentro e $D$ e $E$ i punti di intersezione di $BI$ e $CI$ con i lati opposti del triangolo, rispettivamente. Trova tutte le possibili misure di $\angle BAC$ per le quali può essere soddisfatta l’uguaglianza $DI=EI$.

src_pol_2000_r2__Q04

Decide whether there is a function f: N -> N such that f(f(n)) = 2n for all natural n.

Prove or disprove that there is a function $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ such that $f(f(n))=2n\text{for all }n\in \mathbb{N}.$

Topic: Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Decidere se esiste una funzione f: N -> N tale che f(f(n)) = 2n per tutti i n naturali.

Prove o respingere l’esistenza di una funzione $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tale che $f(f(n))=2n\text{for all }n\in \mathbb{N}.$

src_pol_2000_r2__Q05

A quadratic polynomial w with integer coefficients takes a perfect-square value at every integer x; prove w is the square of a polynomial.

Let $w$ be a quadratic polynomial with integer coefficients. Suppose that for each integer $x$ the value $w(x)$ is a perfect square. Prove that $w$ is the square of a polynomial.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Un polinomio quadratico w con coefficienti interi assume un valore di quadrato perfetto a ogni numero intero x; prova w è il quadrato di un polinomio.

Che $w$ sia un polinomio quadratico con coefficienti interi. Supponiamo che per ogni numero intero $x$ il valore $w(x)$ sia un quadrato perfetto. Prova che $w$ è il quadrato di un polinomio.

src_pol_2000_r2__Q06