Olimpiade Matematica Polacca 2000 — Round 3

Number of nonnegative real solutions of a cyclic quadratic system

For a given integer $n\ge 2$, find the number of nonnegative real solutions of the systeming system of equations: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_1^2=4x_1\\ x_3+x_2^2=4x_2\\ \cdots \cdots \\ x_1+x_n^2=4x_n.\end{array}$

Topic: Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numero di soluzioni reali non negative di un sistema quadratico ciclico

Per un dato numero intero $n\ge 2$, trovare il numero di soluzioni reali non negative del sistema di sistemazione delle equazioni: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_1^2=4x_1\\ x_3+x_2^2=4x_2\\ \cdots \cdots \\ x_1+x_n^2=4x_n.\end{array}$

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Angle sum is 180 degrees in an isosceles triangle with an interior point

Point $P$ is taken in the interior of a triangle $ABC$ with $AC=BC$ such that $\angle PAB=\angle PBC$. Point $M$ is the midpoint of $AB$. Prove that $\angle APM+\angle BPC=180^{\circ }.$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

La somma dell’angolo è di 180 gradi in un triangolo a uguali con un punto interno

Il punto $P$ è preso all’interno di un triangolo $ABC$ con $AC=BC$ in modo tale che $\angle PAB=\angle PBC$. Il punto $M$ è il punto medio di $AB$. Provare che $\angle APM+\angle BPC=180^{\circ }.$

src_pol_2000_r3__Q02

A sequence built from greatest proper divisors is bounded

The sequence $(p_n)$ of natural numbers satisfies:

(i) $p_1$ and $p_2$ are primes;

(ii) For $n\ge 3$ the number $p_n$ is the greatest proper divisor of $p_{n-1}+p_{n-2}+2000$.

Prove that the sequence $(p_n)$ is bounded.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Una sequenza costruita a partire dai più grandi divisori propri è limitata

La sequenza $(p_n)$ dei numeri naturali soddisfa:

(i) $p_1$ e $p_2$ sono numeri primi;

(ii) Per $n\ge 3$ il numero $p_n$ è il più grande divisore proprio di $p_{n-1}+p_{n-2}+2000$.

Provare che la sequenza $(p_n)$ è limitata.

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A zig-zag path on lateral edges of a regular pyramid shorter than twice an edge

In a regular pyramid with top vertex $S$ and base $A_1{A}_2\dots A_n$ each lateral edge forms an angle of $60^{\circ }$ with the base of the pyramid. For each $n\ge 3$ prove or disprove that there exist points $B_2,B_3,\dots ,B_n$ lying on the edges $A_{2}S,A_{3}S,\dots ,A_{n}S$, respectively, such that $A_1{B}_2+B_2{B}_3+\cdots +B_{n-1}{B}_n+B_n{A}_1<2A_{1}S.$

Topic: Geometria solida Metodo: Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un percorso in zigzag sui bordi laterali di una piramide regolare inferiore al doppio del bordo

In una piramide regolare con vertice superiore $S$ e base $A_1{A}_2\dots A_n$ ogni bordo laterale forma un angolo di $60^{\circ }$ con la base della piramide. Per ogni $n\ge 3$ si dimostra o si nega che esistono punti $B_2,B_3,\dots ,B_n$ che si trovano sui bordi $A_{2}S,A_{3}S,\dots ,A_{n}S$, rispettivamente, in modo tale che $A_1{B}_2+B_2{B}_3+\cdots +B_{n-1}{B}_n+B_n{A}_1<2A_{1}S.$

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Smallest number of squares forcing an even-row-and-column subset

Given an integer $n\ge 2$, find the smallest number $k$ with the following property: From each set of $k$ squares of an $n\times n$ chessboard one can choose a subset such that each row and column of the chessboard contains an even number of squares from this subset.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Meno numero di quadrati che costringono un sottoinsieme pari di righe e colonne

Dato un numero intero $n\ge 2$, si trova il numero più piccolo $k$ con la seguente proprietà: Da ogni insieme di quadrati $k$ di una scacchiera $n\times n$ si può scegliere un sottoinsieme tale che ogni riga e colonna della scacchiera contengano un numero pari di quadrati di questo sottoinsieme.

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An odd-degree polynomial with P(x^2-1)=P(x)^2-1 must equal x

Suppose that $P(x)$ is a polynomial of an odd degree satisfying $P(x^2-1)=P(x{)}^2-1\text{for all }x.$ Prove that $P(x)=x$ for all $x$.

Topic: Algebra, Equazioni funzionali Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Un polinomio di grado odd con P(x^2-1)=P(x)^2-1 deve essere uguale a x

Supponiamo che $P(x)$ sia un polinomio di grado odd soddisfacente $P(x^2-1)=P(x{)}^2-1\text{for all }x.$ Prove che $P(x)=x$ per tutti $x$.

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