Olimpiade Matematica Polacca 2001 — Round 1

Solve an exponential Diophantine equation in integers.

Solve in integers the equation $x^{2000}+2000^{1999}=x^{1999}+2000^{2000}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un’equazione diofantina esponenziale in numeri interi.

Risolvere in numeri interi l’equazione $x^{2000}+2000^{1999}=x^{1999}+2000^{2000}$.

src_pol_2001_r1__Q01

Cevian intersection and a parallelogram on the sides of a triangle yield a ratio equality.

Points $D$ and $E$ lie on the sides $BC$ and $AC$ respectively of the triangle $ABC$. The lines $AD$ and $BE$ meet at $P$. Points $K$ and $L$ are taken on $BC$ and $AC$ respectively so that $CLPK$ is a parallelogram. Prove that $\frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’intersezione di Cevian e un parallelo sui lati di un triangolo danno un rapporto uguale.

I punti $D$ e $E$ si trovano rispettivamente sui lati $BC$ e $AC$ del triangolo $ABC$. Le linee $AD$ e $BE$ si incontrano a $P$. I punti $K$ e $L$ sono presi rispettivamente su $BC$ e $AC$ in modo che $CLPK$ sia un parallelo. Prove che $\frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}$.

src_pol_2001_r1__Q02

Find all n>=2 for which a chain-sum inequality holds for all positive reals.

Find all integers $n\ge 2$ such that the inequality $x_1{x}_2+x_2{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n\le \frac{n-1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\right)$ is satisfied for all positive numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le n>=2 per le quali una disuguaglianza di catena-somma vale per tutti i reali positivi.

Trovare tutti i numeri interi $n\ge 2$ in modo tale che la disuguaglianza $x_1{x}_2+x_2{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n\le \frac{n-1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\right)$ sia soddisfatta per tutti i numeri positivi $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

src_pol_2001_r1__Q03

Decide whether 65 balls of diameter 1 fit inside a cube of edge 4.

Prove or disprove: One can place $65$ balls of diameter $1$ within a cube of edge $4$.

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Decidere se 65 palle di diametro 1 si inseriscono all’interno di un cubo di bordo 4.

Provare o respingere: si possono collocare sfere $65$ di diametro $1$ all’interno di un cubo di bordo $4$.

src_pol_2001_r1__Q04

Show that n^(p^p) + p^p is composite for n>=2 and prime p.

Prove that for all integers $n\ge 2$ and prime numbers $p$ the number $n^{p^p}+p^p$ is composite.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Mostra che n^(p^p) + p^p è composto per n>=2 e p primo.

Prova che per tutti i numeri interi $n\ge 2$ e i numeri primi $p$ il numero $n^{p^p}+p^p$ è composto.

src_pol_2001_r1__Q05

From a + bsqrt(2001) = (x + ysqrt(2001))^2000 prove a >= 44b.

The integers $a,b,x,y$ satisfy the equality $a+b\sqrt{2001}={\left(x+y\sqrt{2001}\right)}^{2000}.$ Prove that $a\ge 44b$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Da un + bsqrt(2001) = (x + ysqrt(2001))^2000 dimostrare un >= 44b.

I numeri interi $a,b,x,y$ soddisfano l’uguaglianza $a+b\sqrt{2001}={\left(x+y\sqrt{2001}\right)}^{2000}.$ Prove che $a\ge 44b$.

src_pol_2001_r1__Q06

Points D,E on the hypotenuse with angle DAE=45 deg; circumcircle of ADE meets the legs at P,Q; prove BP+CQ=PQ.

Points $D$ and $E$ lie on the hypotenuse $BC$ of an isosceles right triangle $ABC$ such that $\angle DAE=45^{\circ }$. The circumcircle of triangle $ADE$ meets the sides $AB$ and $AC$ again at $P$ and $Q$ respectively. Prove that $BP+CQ=PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti D,E sull’ipotenusa con angolo DAE=45°; circoncircolo di ADE incontra le gambe a P,Q; prova BP+CQ=PQ.

I punti $D$ e $E$ si trovano sull’ipotenusa $BC$ di un triangolo rettangolo $ABC$ di uguale taglia in modo tale che $\angle DAE=45^{\circ }$. Il circoncircolo del triangolo $ADE$ incontra i lati $AB$ e $AC$ di nuovo rispettivamente a $P$ e $Q$. Prova che $BP+CQ=PQ$.

src_pol_2001_r1__Q07

For which m,n can an m x n rectangle be cut into congruent copies of a given L-piece.

For which positive integers $m,n$ can the $m\times n$ rectangle be cut into pieces congruent to the piece shown in the figure?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Per il quale m,n può essere tagliato un rettangolo m x n in copie congruenti di un dato pezzo L.

Per quali integri positivi $m,n$ il rettangolo $m\times n$ può essere tagliato in pezzi congruenti al pezzo mostrato nella figura?

src_pol_2001_r1__Q08

Among any 12 consecutive integers one cannot be written as a sum of ten fourth powers.

Prove that among any $12$ consecutive integers there is one that cannot be written as a sum of ten fourth powers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tra tutti i 12 numeri interi consecutivi uno non può essere scritto come la somma di dieci potenze quattordici.

Prova che tra tutti i numeri interi $12$ consecutivi c’è uno che non può essere scritto come la somma di dieci potenze quattordici.

src_pol_2001_r1__Q09

Prove every triangle has an interior point with a definite area/perimeter divisibility property.

Prove that any triangle $ABC$ contains an interior point $P$ with the following property: every line passing through $P$ divides the perimeter and the area of the triangle $ABC$ in the same ratio.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che ogni triangolo ha un punto interno con una proprietà di divisibilità di area/perimetro definita.

Prova che ogni triangolo $ABC$ contiene un punto interno $P$ con la seguente proprietà: ogni linea che attraversa $P$ divide il perimetro e l’area del triangolo $ABC$ nello stesso rapporto.

src_pol_2001_r1__Q10

n-tuple of positive integers is admissible if each k up to 2sum has a {-2..2}-coefficient representation; find the maximum of the sum.*

An $n$-tuple $(c_1,c_2,\dots ,c_n)$ of positive integers is called admissible if each positive integer $k$ not exceeding $2(c_1+c_2+\cdots +c_n)$ can be represented in the form $k={\sum }_{i=1}^n{a}_i{c}_i,\text{with }{a}_i\in \{-2,-1,0,1,2\}.$ For each $n$ find the maximum possible value of $c_1+\cdots +c_n$ if $(c_1,\dots ,c_n)$ is admissible.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

n-tuple di integri positivi è ammissibile se ogni k fino a 2 * somma ha una rappresentazione del coefficiente {-2..2}; trovare il massimo della somma.

Un $n$-tuple $(c_1,c_2,\dots ,c_n)$ di numeri interi positivi è ammissibile se ogni intero positivo $k$ non superiore a $2(c_1+c_2+\cdots +c_n)$ può essere rappresentato nella forma $k={\sum }_{i=1}^n{a}_i{c}_i,\text{with }{a}_i\in \{-2,-1,0,1,2\}.$ Per ogni $n$ si trova il valore massimo possibile di $c_1+\cdots +c_n$ se $(c_1,\dots ,c_n)$ è ammissibile.

src_pol_2001_r1__Q11

Sequences with x0=0 and |x_n|=|x_{n-1}+1|; find the minimum of the absolute sum.

Consider all sequences $x_0,x_1,\dots ,x_{2000}$ of integers satisfying $x_0=0\text{and}|x_n|=|x_{n-1}+1|\text{ for }n=1,2,\dots ,2000.$ Find the minimum value of the expression $|x_1+x_2+\cdots +x_{2000}|$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Estremalità, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenze con x0 e \ \x_n=di_{n-1}+1; trovare il minimo della somma assoluta.

Considerare tutte le sequenze $x_0,x_1,\dots ,x_{2000}$ di numeri interi che soddisfano $x_0=0\text{and}|x_n|=|x_{n-1}+1|\text{ for }n=1,2,\dots ,2000.$ Trovare il valore minimo dell’espressione $|x_1+x_2+\cdots +x_{2000}|$.

src_pol_2001_r1__Q12