Olimpiade Matematica Polacca 2001 — Round 2

Divisibility of a difference of binomial coefficients by a prime p=2k-1, and then by its square.

Let $k,n>1$ be integers such that the number $p=2k-1$ is prime. Prove that, if the number $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$ is divisible by $p$, then it is divisible by $p^2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Divisibilità di una differenza di coefficienti binomiali da un primo p=2k-1, e quindi dal suo quadrato.

$k,n>1$ siano numeri interi in modo tale che il numero $p=2k-1$ sia primo. Prova che, se il numero $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$ è divisibile da $p$, allora è divisibile da $p^2$.

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Points A,B,C on a line with ABDE a square; circle on diameter AC meets line DE at P,Q; lines AQ and BD meet at R; prove DP=DR.

Points $A,B,C$ with $AB<BC$ lie in this order on a line. Let $ABDE$ be a square. The circle with diameter $AC$ intersects the line $DE$ at points $P$ and $Q$ with $P$ between $D$ and $E$. The lines $AQ$ and $BD$ intersect at $R$. Prove that $DP=DR$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti A,B,C su una linea con ABDE quadrata; cerchio su diametro AC incontra la linea DE a P,Q; linee AQ e BD incontra a R; prova DP=DR.

I punti $A,B,C$ con $AB<BC$ si trovano in questo ordine su una linea. Il valore $ABDE$ deve essere quadrato. Il cerchio di diametro $AC$ interseca la linea $DE$ nei punti $P$ e $Q$ con $P$ tra $D$ e $E$. Le linee $AQ$ e $BD$ si incrociano a $R$. Prove che $DP=DR$.

src_pol_2001_r2__Q02

A monic degree-n polynomial missing the x^{n-1} and x^{n-2} terms, with a nonzero coefficient, cannot have all real roots.

Let $n\ge 3$ be a positive integer. Prove that a polynomial of the form $x^n+a_{n-3}{x}^{n-3}+a_{n-4}{x}^{n-4}+\cdots +a_{1}x+a_0,$ where at least one of the real coefficients $a_0,a_1,\dots ,a_{n-3}$ is nonzero, cannot have all real roots.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Un polinomio monico di grado n che manca dei termini x^{n-1} e x^{n-2}, con un coefficiente non zero, non può avere tutte le radici reali.

$n\ge 3$ sia un numero intero positivo. Prova che un polinomio della forma $x^n+a_{n-3}{x}^{n-3}+a_{n-4}{x}^{n-4}+\cdots +a_{1}x+a_0,$ in cui almeno uno dei coefficienti reali $a_0,a_1,\dots ,a_{n-3}$ non è zero, non può avere tutte le radici reali.

src_pol_2001_r2__Q03

Find all n>=3 such that any arithmetic progression of n terms with rational weighted sum contains a rational term.

Find all integers $n\ge 3$ for which the following statement is true: Any arithmetic progression $a_1,\dots ,a_n$ with $n$ terms for which $a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n$ is rational contains at least one rational term.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le n>=3 in modo tale che qualsiasi progressione aritmetica di n termini con somma ponderata razionale contenga un termine razionale.

Trova tutti gli enti $n\ge 3$ per i quali è vera la seguente affermazione: Qualsiasi progressione aritmetica $a_1,\dots ,a_n$ con termini $n$ per i quali $a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n$ è razionale contiene almeno un termine razionale.

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In triangle ABC with incenter I and D=AI∩BC, show AI+CD=AC iff angle B = 60 + (1/2) angle C.

In a triangle $ABC$, $I$ is the incenter and $D$ the intersection point of $AI$ and $BC$. Show that $AI+CD=AC$ if and only if $\angle B=60^{\circ }+\frac{1}{2}\angle C$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo ABC con incentro I e D=AI∩BC, mostrare AI+CD=AC se angolo B = 60 + angolo C.

In un triangolo $ABC$, $I$ è il centro e $D$ il punto di intersezione di $AI$ e $BC$. Indicare che $AI+CD=AC$ se e solo se $\angle B=60^{\circ }+\frac{1}{2}\angle C$.

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Compute |A_n|-|B_n|, the difference between counts of n-element subsets of {1,…,2n} with even and odd element sums.

For a positive integer $n$, let $A_n$ and $B_n$ be the families of $n$-element subsets of $S_n=\{1,2,\dots ,2n\}$ with respectively even and odd sums of elements. Compute $|A_n|-|B_n|$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Calcolazione \A_n_di_di_di_di, la differenza tra i conti di sottoinsiemi di elementi di {1,…,2n} con somme di elementi pari e odd.

Per un intero positivo $n$, $A_n$ e $B_n$ siano le famiglie dei sottoinsiemi di $n$-elementi di $S_n=\{1,2,\dots ,2n\}$ con rispettivamente somme pari e odd di elementi. Calcolare $|A_n|-|B_n|$.

src_pol_2001_r2__Q06