Olimpiade Matematica Polacca 2001 — Round 3

Prove an inequality involving sums of ix_i and x_i^i for n nonnegative reals.*

Prove that for all nonnegative real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ ($n\ge 2$) the following inequality holds: ${\sum }_{i=1}^{n}i{x}_i\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+{\sum }_{i=1}^n{x}_i^i.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove una disuguaglianza che coinvolge somme di ix_i e x_i per n reali non negativi.*

Prove che per tutti i numeri reali non negativi $x_1,x_2,\dots ,x_n$ ($n\ge 2$) è valida la seguente disuguaglianza: ${\sum }_{i=1}^{n}i{x}_i\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+{\sum }_{i=1}^n{x}_i^i.$

src_pol_2001_r3__Q01

Show the sum of distances from an interior point of a regular tetrahedron with edge 1 to its vertices is at most 3.

Prove that, for any interior point $P$ of a regular tetrahedron with edge $1$, the sum of the distances from $P$ to the vertices of the tetrahedron is not greater than $3$.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra la somma delle distanze da un punto interno di un tetraedro regolare con bordo 1 alle sue vertici è massima di 3.

Prova che, per qualsiasi punto interno $P$ di un tetraedro regolare con bordo $1$, la somma delle distanze da $P$ ai vertici del tetraedro non è superiore a $3$.

src_pol_2001_r3__Q02

For the recurrence x_{n+2}=x_{n+1}+x_n, show some a,b give over 2000 multiple values but none gives infinitely many.

Consider the sequence $(x_n)$ defined by $x_1=a,x_2=b,x_{n+2}=x_{n+1}+x_n\text{for }n=1,2,3,\dots ,$ where $a$ and $b$ are real numbers. We call a number $c$ a multiple value of sequence $(x_n)$ if there exist positive integers $k\ne l$ such that $x_k=x_l=c$. Prove that there exist $a$ and $b$ for which $(x_n)$ possesses more than $2000$ different multiple values. Moreover, prove that $(x_n)$ cannot have infinitely many different multiple values.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per la ricorrenza x_{n+2}=x_{n+1}+x_n, mostrare alcuni a,b danno più di 2000 valori multipli ma nessuno dà infinitamente molti.

Considera la sequenza $(x_n)$ definita da $x_1=a,x_2=b,x_{n+2}=x_{n+1}+x_n\text{for }n=1,2,3,\dots ,$ dove $a$ e $b$ sono numeri reali. Chiamiamo un numero $c$ un valore multiplo della sequenza $(x_n)$ se esistono interi positivi $k\ne l$ tali che $x_k=x_l=c$. Prove che esistono $a$ e $b$ per i quali $(x_n)$ possiede più di $2000$ diversi valori multipli. Inoltre, dimostri che $(x_n)$ non può avere infinitamente molti valori multipli diversi.

src_pol_2001_r3__Q03

If 2^na+b is a perfect square for all natural n, show a=0.*

Suppose that $a$ and $b$ are integers such that $2^{n}a+b$ is a perfect square for all $n\in \mathbb{N}$. Show that $a=0$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Se 2^na+b è un quadrato perfetto per tutte le n naturali, mostrare a=0.*

Supponiamo che $a$ e $b$ siano integri in modo tale che $2^{n}a+b$ sia un quadrato perfetto per tutti $n\in \mathbb{N}$. Mostrare che $a=0$.

src_pol_2001_r3__Q04

In parallelogram ABCD, K on BC and L on CD with BKAD=DLAB; DK and BL meet at P. Prove angle DAP = angle BAC.

Points $K$ and $L$ are taken on the sides $BC$ and $CD$ of a parallelogram $ABCD$, respectively, such that $BK\cdot AD=DL\cdot AB$. The segments $DK$ and $BL$ meet at point $P$. Prove that $\angle DAP=\angle BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel parallelo ABCD, K su BC e L su CD con BKAD=DL*AB; DK e BL si incontrano a P. Indicare l’angolo DAP = angolo BAC.

I punti $K$ e $L$ sono presi sui lati $BC$ e $CD$ di un parallelo $ABCD$, rispettivamente, in modo tale che $BK\cdot AD=DL\cdot AB$. I segmenti $DK$ e $BL$ si incontrano al punto $P$. Prove che $\angle DAP=\angle BAC$.

src_pol_2001_r3__Q05

Given 2000 increasing positive integers below 10^100, find two nonempty disjoint subsets with equal size, equal element sums, and equal sums of squares.

Let $n_1<n_2<\cdots <n_{2000}<10^{100}$ be given positive integers. Show that there exist two nonempty and disjoint subsets $A$ and $B$ of $\{n_1,n_2,\dots ,n_{2000}\}$ such that: (i) $A$ and $B$ have the same number of elements; (ii) $A$ and $B$ have the same sums of elements; (iii) $A$ and $B$ have the same sums of the squares of elements.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dato il 2000 di incremento degli integri positivi al di sotto di 10^100, trovare due sottoinsiemi non vuoti con dimensioni uguali, somme di elementi uguali e somme di quadrati uguali.

Si devono dare $n_1<n_2<\cdots <n_{2000}<10^{100}$ numeri interi positivi. Indicare che esistono due sottinsiemi non vuoti e disconnessi $A$ e $B$ di $\{n_1,n_2,\dots ,n_{2000}\}$ in modo tale che: (i) $A$ e $B$ abbiano lo stesso numero di elementi; (ii) $A$ e $B$ abbiano le stesse somme di elementi; (iii) $A$ e $B$ abbiano le stesse somme dei quadrati di elementi.

src_pol_2001_r3__Q06