Olimpiade Matematica Polacca 2002

Solve an absolute-value equation in the reals with even-indexed terms on the left and odd-indexed terms on the right.

Solve the following equation in the real numbers $∣ x ∣ + ∣ x + 2∣ + ∣ x + 4∣ + ∣ x + 6∣ + \dots + ∣ x + 998∣ =$ $= ∣ x + 1∣ + ∣ x + 3∣ + ∣ x + 5∣ + \dots + ∣ x + 7∣ + \dots + ∣ x + 999∣.$

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un’equazione di valore assoluto nei reali con termini indicizzati pari a sinistra e termini indicizzati dispari a destra.

Risolvere la seguente equazione nei numeri reali $∣ x ∣ + ∣ x + 2∣ + ∣ x + 4∣ + ∣ x + 6∣ + \dots + ∣ x + 998∣ =$ $= ∣ x + 1∣ + ∣ x + 3∣ + ∣ x + 5∣ + \dots + ∣ x + 7∣ + \dots + ∣ x + 999∣.$

src_pol_2002_r1__Q01

Triangle with squares built outward on two sides; find all values of MN:BC where M, N are midpoints of two segments.

$A B C$ is a given triangle. $A B D E$ and $A C F G$ are the squares drawn outside of the triangle. The points $M$ and $N$ are the midpoints of $D G$ and $E F$ respectively. Find all values of the ration $M N : B C$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con quadrati costruiti verso l’esterno su due lati; trovare tutti i valori di MN:BC dove M, N sono i punti di mezzo di due segmenti.

$A B C$ è un triangolo dato. $A B D E$ e $A C F G$ sono i quadrati disegnati fuori dal triangolo. I punti $M$ e $N$ sono rispettivamente i punti intermedi di $D G$ e $E F$ . Trova tutti i valori della razione $M N : B C$ .

src_pol_2002_r1__Q02

Prove a binomial-type sum is divisible by a large power of 2.

Prove that the number $\sum_{n = 0}^{1 0^{10}} (2 n 2 \cdot 1 0 ^{10}) 5^{n}$ is divisible by $2^{1 0^{10} - 1}$ .

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che una somma di tipo binomio è divisibile da una grande potenza di 2.

Provare che il numero $\sum_{n = 0}^{1 0^{10}} (2 n 2 \cdot 1 0 ^{10}) 5^{n}$ è divisibile da $2^{1 0^{10} - 1}$ .

src_pol_2002_r1__Q03

Prove a polynomial graph of degree >1 has a symmetry axis iff it factors as F(G) with deg G = 2.

Prove that the graph of the polynomial $W (x)$ with $de g W > 1$ possesses a symmetry axis if and only if there exist polynomials $F (x), G (x)$ such that $W (x) = F (G (x))$ and $de g G = 2$ .

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che un grafico polinomial di grado >1 ha un asse di simmetria se fattori come F(G) con deg G = 2.

Prova che il grafico del polinomio $W (x)$ con $de g W > 1$ possiede un asse di simmetria se e solo se esistono polinomi $F (x), G (x)$ come $W (x) = F (G (x))$ e $de g G = 2$ .

src_pol_2002_r1__Q04

Prove that for each k there is a positive integer m so that m, 2m, …, m! have exactly k nonzero digits in their binomial expansion.

Prove that for each positive integer $k$ there exists a positive integer $m$ such that for the numbers $m, 2 m, 3 m, \dots, m!$ there have exactly $k$ nonzero digits in the binomial expansion.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Dimostrare che per ogni k c’è un intero positivo m in modo che m, 2m, …, m! hanno esattamente k numeri non zero nella loro espansione binomial.

Prova che per ogni intero positivo $k$ esiste un intero positivo $m$ tale che per i numeri $m, 2 m, 3 m, \dots, m!$ ci siano esattamente $k$ cifre non zero nell’espansione binomial.

src_pol_2002_r1__Q05

A circle divides each side of a rhombus into three pieces; the 12 segments are colored in three colors; prove the red total equals the white total.

A circle divides all sides of a rhombus into three pieces. Starting from a vertex of the rhombus and going in a fixed direction along the boundary of the rhombus the 12 segments are colored red, green and white successively. Prove that the sum of the lengths of the red segments is equal to the sum of the lengths of the white segments.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un cerchio divide ogni lato di un rombo in tre pezzi; i 12 segmenti sono colorati in tre colori; dimostrare che il totale rosso è uguale al totale bianco.

Un cerchio divide tutti i lati di un rombo in tre pezzi. Partendo da un vertex del rombo e andando in una direzione fissa lungo il confine del rombo i 12 segmenti sono colorati rosso, verde e bianco successivamente. Prove che la somma delle lunghezze dei segmenti rossi è uguale alla somma delle lunghezze dei segmenti bianchi.

src_pol_2002_r1__Q06

In a group of n>=3 people where each has an even number of acquaintances, prove three members have the same number of acquaintances.

In a group of $n \geq 3$ people each member of the group has an even number (possibly zero) of acquaintances in the group. Prove that there exist three members of the group which has the same number of acquaintances in this group.

\textit{Remark.} Assume that nobody includes himself into the set of his acquaintances and that $A$ knows $B$ if and only if $B$ knows $A$ .

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In un gruppo di n>=3 persone in cui ciascuno ha un numero pari di conoscenti, dimostrare che tre membri hanno lo stesso numero di conoscenti.

In un gruppo di persone $n \geq 3$ ogni membro del gruppo ha un numero pari (possibilmente zero) di conoscenti nel gruppo. Provare che esistono tre membri del gruppo che ha lo stesso numero di conoscenti in questo gruppo.

\textit{Remark.} Supponiamo che nessuno si inserisca nel gruppo dei suoi conoscenti e che $A$ conosca $B$ se e solo se $B$ conosce $A$ .

src_pol_2002_r1__Q07

Let S(n) be the digit sum of n; prove S(2n^2+3) is never a perfect square.

Let $S (n)$ denote the sum of digits of the number $n$ . Prove that for each positive integer $n$ the number $S (2 n^{2} + 3)$ is not the square of an integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Lasciate che S(n) sia la somma digitali di n; dimostri che S(2n^2+3) non è mai un quadrato perfetto.

$S (n)$ indichi la somma dei numeri $n$ . Prova che per ogni intero positivo $n$ il numero $S (2 n^{2} + 3)$ non è il quadrato di un intero.

src_pol_2002_r1__Q08

A plane cuts the lateral edges of a hexagonal prism in a convex hexagon; prove the alternating sum of squared base-distances balances.

A plain intersects lateral edges of a prism with a hexagonal base in the points $D_{1}, D_{2}, \dots, D_{6}$ . The intersection set $D_{1} D_{2} D_{3} D_{4} D_{5} D_{6}$ is a convex hexagon. Denote by $d_{i}$ the distance of the point $D_{i}$ to the plain containing one fixed base of the prism. Prove that $d_{1}^{2} + d_{3}^{2} + d_{5}^{2} = d_{2}^{2} + d_{4}^{2} + d_{6}^{2}$ .

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un piano taglia i bordi laterali di un prisma esagonale in un esagono converso; dimostra la somma alternata di bilanci di distanze di base a quadrato.

Una piana interseca i bordi laterali di un prisma con una base esagonale nei punti $D_{1}, D_{2}, \dots, D_{6}$ . L’insieme di intersezioni $D_{1} D_{2} D_{3} D_{4} D_{5} D_{6}$ è un esagono converso. Indicare per $d_{i}$ la distanza del punto $D_{i}$ dalla pianura che contiene una base fissa del prisma. Prove che $d_{1}^{2} + d_{3}^{2} + d_{5}^{2} = d_{2}^{2} + d_{4}^{2} + d_{6}^{2}$ .

src_pol_2002_r1__Q09

On a 2000x2000 board with a stone on each field, moves merge two stones three-apart onto the middle; decide whether all stones can end on one field.

On each field of a $2000 \times 2000$ chessboard lies a stone. The stones can be moved in the following manner: Thake three successive fields lying in a row or in a column. If on the first and on the third field lies a stone then these two stones can be moved on the second field. (Note that a movement can be executed independent of the number of stones lying on the middle filed.) Prove or disprove: There exists a sequence of movements such that at the end all the stones lie on one field of the chessboard.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Colorazione Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Su una lavagna 2000x2000 con una pietra su ciascun campo, si muovono due pietre tre a parte sul centro; si decide se tutte le pietre possono finire su un campo.

Su ogni campo di una scacchiera $2000 \times 2000$ si trova una pietra. Le pietre possono essere spostate nel modo seguente: Colmare tre campi successivi in fila o in colonna. Se sul primo e sul terzo campo si trova una pietra, allora queste due pietre possono essere spostate sul secondo campo. (Nota che un movimento può essere eseguito indipendentemente dal numero di pietre che si trovano sul mezzo archivato.) Prova o smentire: Esiste una sequenza di movimenti tale che alla fine tutte le pietre si trovano su un campo della scacchiera.

src_pol_2002_r1__Q10

With an angle condition on triangle ABC, a circle tangent to AC at A through D on BC meets AB at P; prove BP/AC = BD/DC.

In the triangle $A B C$ it holds that $∠ B > ∠ C$ . The point $D$ lies on the side $B C$ and satisfies the equality $∠ D A C = (1/2) (∠ B - ∠ C)$ . The circle tangent to the line $A C$ in the point $A$ and containing the point $D$ intersects the line $A B$ in the point $P \neq = A$ . Prove that $\frac{B P}{A C} = \frac{B D}{D C} .$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Con una condizione angolare sul triangolo ABC, un cerchio tangente a AC da A a D su BC incontra AB a P; dimostrare BP/AC = BD/DC.

Nel triangolo $A B C$ si trova $∠ B > ∠ C$ . Il punto $D$ si trova sul lato $B C$ e soddisfa l’uguaglianza $∠ D A C = (1/2) (∠ B - ∠ C)$ . Il cerchio tangente alla linea $A C$ nel punto $A$ e contenente il punto $D$ interseca la linea $A B$ nel punto $P \neq = A$ . Provare che $\frac{B P}{A C} = \frac{B D}{D C} .$

src_pol_2002_r1__Q11

A non-decreasing sequence of positive integers has exactly k values equal to k; find all primes among its partial sums.

In a non-decreasing sequence $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ all values are positive integers and exactly $k$ values are equal to $k$ . Find all primes of the form $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} .$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Una sequenza di interi positivi non in diminuzione ha esattamente k valori uguali a k; trovare tutti i primi tra le sue somme parziali.

In una sequenza non diminuente $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ tutti i valori sono interi positivi e esattamente $k$ i valori sono uguali a $k$ . Trova tutti i numeri primi del modulo $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} .$

src_pol_2002_r1__Q12

competition	Olimpiade Matematica Polacca 2002 — Round 1
year	2002
level	Olimpiade Polacca Round 1

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