Olimpiade Matematica Polacca 2002 — Round 2

Prove all functions f:R->R satisfying f(x)=f(2x)=f(1-x) for all x are periodic.

Prove that all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfying $\forall x\in \mathbb{R}f(x)=f(2x)=f(1-x)$ are periodic.

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Simmetria, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove tutte le funzioni f:R->R che soddisfano f(x)=f(2x)=f(1-x) per tutte le x sono periodiche.

Provare che tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che soddisfano $\forall x\in \mathbb{R}f(x)=f(2x)=f(1-x)$ sono periodiche.

src_pol_2002_r2__Q01

Convex quadrilateral ABCD with angle ADB=2 angle ACB and angle BDC=2 angle BAC; prove AD=CD.

In a convex quadrilateral $ABCD$ the following equalities $\angle ADB=2\angle ACB\text{and}\angle BDC=2\angle BAC$ hold. Prove that $AD=CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale con angolo ADB=2 angolo ACB e angolo BDC=2 angolo BAC; prova AD=CD.

In un quadrilaterale converso $ABCD$ le seguenti equazioni $\angle ADB=2\angle ACB\text{and}\angle BDC=2\angle BAC$ si trovano. Prove che $AD=CD$.

src_pol_2002_r2__Q02

In an association of n members with 6 commissions each of at least n/4 members, prove two commissions share at least n/30 members.

A positive integer $n$ is given. In an association consisting of $n$ members work 6 commissions. Each commission contains at least $n/4$ persons. Prove that there exists two commissions containing at least $n/30$ persons in common.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

In un’associazione di n membri con 6 commissioni ciascuna di almeno n/4 membri, dimostrare che due commissioni condividono almeno n/30 membri.*

Si dà un intero positivo $n$. In un’associazione composta da membri $n$ si svolgono 6 commissioni. Ogni commissione contiene almeno $n/4$ persone. Dimostrare che esistono due commissioni che contengono almeno $n/30$ persone in comune.

src_pol_2002_r2__Q03

Find all numbers p<=q<=r such that pq+r, pq+r^2, qr+p, qr+p^2, rp+q, rp+q^2 are all prime.

Find all numbers $p\le q\le r$ such that all the numbers $pq+r,pq+r^2,qr+p,qr+p^2,rp+q,rp+q^2$ are prime.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri p<=q<=r in modo che pq+r, pq+r^2, qr+p, qr+p^2, rp+q, rp+q^2 siano tutti primi.

Trova tutti i numeri $p\le q\le r$ in modo tale che tutti i numeri $pq+r,pq+r^2,qr+p,qr+p^2,rp+q,rp+q^2$ siano primi.

src_pol_2002_r2__Q04

Triangle ABC with angle BAC=90 is the base of pyramid ABCD with AD=BD and AB=CD; prove angle ACD>=30.

Triangle $ABC$ with $\angle BAC=90^{\circ }$ is the base of the pyramid $ABCD$. Moreover it holds $AD=BD\text{and}AB=CD.$ Prove that $\angle ACD\ge 30^{\circ }$.

Topic: Geometria solida Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il triangolo ABC con angolo BAC=90 è la base della piramide ABCD con AD=BD e AB=CD; prova angolo ACD>=30.

Il triangolo $ABC$ con $\angle BAC=90^{\circ }$ è la base della piramide $ABCD$. Inoltre contiene $AD=BD\text{and}AB=CD.$ Prove che $\angle ACD\ge 30^{\circ }$.

src_pol_2002_r2__Q05

Find all positive integers n such that for all reals x_i,y_i the product inequality with sums of squares under square roots holds.

Find all positive integers $n$ such that for all real numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n,y_1,y_2,\dots ,y_n$ the following inequality $x_1{x}_2\dots x_n+y_1{y}_2\dots y_n\le \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}\cdot \dots \cdot \sqrt{x_n^2+y_n^2}$ holds.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n in modo tale che per tutti i reali x_i,y_i la disuguaglianza del prodotto con le somme dei quadrati sotto radici quadrate sia contenuta.

Trovare tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che per tutti i numeri reali $x_1,x_2,\dots ,x_n,y_1,y_2,\dots ,y_n$ si verifichi la seguente disuguaglianza $x_1{x}_2\dots x_n+y_1{y}_2\dots y_n\le \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}\cdot \dots \cdot \sqrt{x_n^2+y_n^2}$.

src_pol_2002_r2__Q06