Olimpiade Matematica Polacca 2002 — Round 3

Find positive integers a,b with a²+1, b²+1 prime satisfying equation

Determine all positive integers $a,b$ such that the numbers $a^2+1$ and $b^2+1$ are prime and the following equality $(a^2+1)(b^2+1)=(a^2-1)(b^2-1)+r^2+1$ holds.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova i numeri interi positivi a,b con equazione a2+1, b2+1 prime soddisfacente

Determinare tutti gli integri positivi $a,b$ in modo tale che i numeri $a^2+1$ e $b^2+1$ siano primi e la seguente uguaglianza $(a^2+1)(b^2+1)=(a^2-1)(b^2-1)+r^2+1$ sia valida.

src_pol_2002_r3__Q01

Midpoint of PL, point C, and circumcenter of triangle ABC are collinear

In the outside of a triangle $ABC$ two rectangles $ACPQ$ and $BKLC$ are constructed. Assuming that the areas of these rectangles are equal, prove that the midpoint of the segment $PL$, the point $C$ and the circumcenter of the triangle $ABC$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il punto medio del PL, il punto C e il centro circundante del triangolo ABC sono collineari

All’esterno di un triangolo $ABC$ sono costruiti due rettangoli $ACPQ$ e $BKLC$. Supponendo che le superfici di questi rettangoli siano uguali, dimostrare che il punto medio del segmento $PL$, il punto $C$ e il centro circundante del triangolo $ABC$ sono collineari.

src_pol_2002_r3__Q02

Replace two of three blackboard integers by sum and absolute difference; reach two zeros

On a blackboard three nonnegative integers are written. From these numbers two $k,m$ are chosen and replaced by the numbers $k+m$ and $|k-m|$. The third number remains unchanged. With these new three numbers we proceed similarly. The goal is to obtain at least two numbers equal to $0$. Find out whether it is possible.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sostituire due dei tre enti della scheda nera con la somma e la differenza assoluta; raggiungere due zero

Su una lavagna sono scritte tre numeri interi non negativi. Di questi numeri due $k,m$ sono scelti e sostituiti dai numeri $k+m$ e $|k-m|$. Il terzo numero rimane invariato. Con questi tre nuovi numeri procedono in modo simile. L’obiettivo è quello di ottenere almeno due numeri uguali a $0$. Scopri se è possibile.

src_pol_2002_r3__Q03

Prove cyclic sum inequality for positive reals r_1,…,r_n with n≥3

Prove that for all positive integers $n\ge 3$ and for all positive real numbers $r_1,r_2,\dots ,r_n$ the following chain of inequalities ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{r_{k+1}+r_{k+2}}\ge \frac{n}{\sum _{k=1}^n{r}_k}$ holds (where $r_{n+1}=r_1,r_{n+2}=r_2,r_{n+3}=r_3,r_{n+4}=r_4$).

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza della somma ciclica dei valori reali positivi r_1,…,r_n con n≥3

Prove che per tutti i numeri interi positivi $n\ge 3$ e per tutti i numeri reali positivi $r_1,r_2,\dots ,r_n$ si trova la seguente catena di disuguaglianze ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{r_{k+1}+r_{k+2}}\ge \frac{n}{\sum _{k=1}^n{r}_k}$ (dove $r_{n+1}=r_1,r_{n+2}=r_2,r_{n+3}=r_3,r_{n+4}=r_4$).

src_pol_2002_r3__Q04

Sphere, plane, three non-collinear points with tangent lines; pyramid circumsphere tangent

A sphere $s$ and a plane $\pi$ are given. On the plane $\pi$ three non-collinear points $A,B,C$ are given. Through each of these points a tangent line to $s$ is constructed. The contact points of these lines with $s$ are denoted by $K,L,M$, respectively. A point $P$ lies on $s$ and satisfies $\frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}.$ Prove that the circumsphere of the pyramid $ABCP$ is tangent to $s$.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Sfera, piano, tre punti non collineari con linee tangenti; circosfera piramidale tangente

Sono indicate una sfera $s$ e un piano $\pi$. Sul piano $\pi$ sono indicati tre punti non collineari $A,B,C$. Attraverso ciascuno di questi punti viene costruita una linea tangente a $s$. I punti di contatto di queste linee con $s$ sono indicati rispettivamente da $K,L,M$. Un punto $P$ si trova su $s$ e soddisfa $\frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}.$ Prove che la circosfera della piramide $ABCP$ è tangente a $s$.

src_pol_2002_r3__Q05

Sequence a_1=k+1, a_{n+1}=a_n²-4a_n+1; show distinct terms are coprime

A positive integer $k$ is given. The sequence $(a_n)$ is defined by $a_1=k+1,a_{n+1}=a_n^2-4a_n+1\text{for }n\ge 1.$ Show that for $m\ne n$ the numbers $a_m,a_n$ are relatively prime.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza a_1=k+1, a_{n+1}=a_n2-4a_n+1; mostrare termini distinti sono coprime

Si dà un intero positivo $k$. La sequenza $(a_n)$ è definita da $a_1=k+1,a_{n+1}=a_n^2-4a_n+1\text{for }n\ge 1.$ Mostra che per $m\ne n$ i numeri $a_m,a_n$ sono relativamente primi.

src_pol_2002_r3__Q06