Olimpiade Matematica Polacca 2003 — Round 1

Find all positive integer pairs (x,y) with (x+y)^2-2(xy)^2=1.

Find all pairs of positive integers $x$, $y$ such that $(x+y{)}^2-2(xy{)}^2=1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi positivi (x,y) con (x+y) ^2-2(xy) ^2=1.

Trovare tutte le coppie di integri positivi $x$, $y$ tali da $(x+y{)}^2-2(xy{)}^2=1$.

src_pol_2003_r1__Q01

Given a_1>1 and a_{n+1}=a_n^2-a_n+1, prove the sum of reciprocals is less than 1/(a_1-1).

Given a real number $a_1>1$, define the sequence $(a_n)$ by $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ for $n\ge 1$. Prove that for every positive integer $n$, $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Dato a_1>1 e a_{n+1}=a_n^2-a_n+1, dimostrare che la somma delle reciprocità è inferiore a 1/(a_1-1).

Date un numero reale $a_1>1$, definire la sequenza $(a_n)$ da $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ per $n\ge 1$. Prova che per ogni intero positivo $n$, $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}.$

src_pol_2003_r1__Q02

Tangents at A,B meet at P; tangent at C meets AB at Q. Prove PQ^2=PB^2+QC^2.

Three different points $A$, $B$, $C$ are given on a circle $o$. The tangent lines to $o$ at $A$ and at $B$ meet at $P$, and the tangent line to $o$ at $C$ intersects the line $AB$ at $Q$. Prove that $P{Q}^2=P{B}^2+Q{C}^2$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le tangenti di A, B si incontrano a P; la tangente di C si incontrano a AB a Q. Prova PQ^2=PB^2+QC^2.

Su un cerchio $o$ sono indicati tre punti diversi $A$, $B$ e $C$. Le linee tangenti a $o$ a $A$ e a $B$ si incontrano a $P$, e la linea tangente a $o$ a $C$ interseca la linea $AB$ a $Q$. Prove che $P{Q}^2=P{B}^2+Q{C}^2$.

src_pol_2003_r1__Q03

Over all length-k sequences with terms in {1,…,m}, mark each smallest term; prove the sum of marked numbers equals 1^k+2^k+…+m^k.

Consider the set of all sequences of length $k$ with terms in the set $\{1,2,\dots ,m\}$. For each of these sequences the value of the smallest term is marked. Prove that the sum of all the marked numbers is equal to $1^k+2^k+\cdots +m^k$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Su tutte le sequenze di lunghezza k con termini in {1,…,m}, segna ogni termine più piccolo; prova che la somma dei numeri segnalati è uguale a 1^k+2^k+…+m^k.

Considera l’insieme di tutte le sequenze di lunghezza $k$ con termini nell’insieme $\{1,2,\dots ,m\}$. Per ciascuna di queste sequenze è marcato il valore del termine più piccolo. Prova che la somma di tutti i numeri segnalati è uguale a $1^k+2^k+\cdots +m^k$.

src_pol_2003_r1__Q04

n_1 has 333 nonzero digits; n_{i+1} moves the last digit of n_i to the beginning. Prove 333 divides either four, or all of n_1,…,n_333.

A positive integer $n_1$ contains $333$ decimal digits, and all those digits are nonzero. For $i=1,2,\dots ,332$, set $n_{i+1}$ to be the number obtained from $n_i$ by moving the last digit of $n_i$ to the beginning. Prove that $333$ divides either four, or all of the numbers $n_1,n_2,\dots ,n_{333}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

n_1 ha 333 cifre non zero; n_{i+1} sposta l’ultima cifra di n_i all’inizio. Provare che 333 divide quattro, o tutti, di n_1,…,n_333.

Un intero positivo $n_1$ contiene cifre decimali $333$ e tutte quelle cifre non sono zero. Per $i=1,2,\dots ,332$, impostare $n_{i+1}$ come il numero ottenuto da $n_i$ spostando l’ultima cifra di $n_i$ all’inizio. Provare che $333$ divide quattro o tutti i numeri $n_1,n_2,\dots ,n_{333}$.

src_pol_2003_r1__Q05

A,B,C,D on circle o in order; M midpoint of arc AB not containing C,D; N midpoint of arc CD not containing A,B. Prove (AN^2-BN^2)/AB=(DM^2-CM^2)/CD.

Points $A$, $B$, $C$, $D$ lie in this order on a circle $o$. Let $M$ be the midpoint of the arc $AB$ of $o$ not containing $C$, $D$, and $N$ the midpoint of the arc $CD$ of $o$ not containing $A$, $B$. Prove that $\frac{A{N}^2-B{N}^2}{AB}=\frac{D{M}^2-C{M}^2}{CD}.$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

A,B,C,D su cerchio o in ordine; M punto medio di arco AB non contenente C,D; N punto medio di arco CD non contenente A,B. Prova (AN^2-BN^2)/AB=(DM^2-CM^2)/CD.

I punti $A$, $B$, $C$, $D$ si trovano in questo ordine su un cerchio $o$. Il $M$ deve essere il punto medio dell’arco $AB$ di $o$ non contenente $C$, $D$ e $N$ il punto medio dell’arco $CD$ di $o$ non contenente $A$, $B$. Provare che $\frac{A{N}^2-B{N}^2}{AB}=\frac{D{M}^2-C{M}^2}{CD}.$

src_pol_2003_r1__Q06

At aunt Renia’s meeting of n people, each except Renia gave thrice as many gifts as received, while Renia received six times more than she gave. Find the smallest number of gifts Renia could have obtained.

On a meeting at aunt Renia met $n$ persons (including the aunt). Each person gave at least one gift to at least one other person. Each person except aunt Renia gave thrice as many gifts as he/she received, but aunt Renia received six times more gifts as she gave out. Find the smallest number of gifts which aunt Renia could have obtained.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Alla riunione di zia Renia di n persone, ognuno tranne Renia ha dato tre volte più regali di quelli ricevuti, mentre Renia ha ricevuto sei volte di più di quello che ha dato. Trova il minor numero di regali che Renia avrebbe potuto ottenere.

In una riunione presso la zia Renia ha incontrato persone (tra cui la zia). Ognuno di loro ha dato almeno un regalo ad almeno un altro. Ogni persona tranne zia Renia ha dato tre volte più regali di quelli che ha ricevuto, ma zia Renia ha ricevuto sei volte più regali di quelli che ha dato. Trova il minor numero di regali che la zia Renia avrebbe potuto ottenere.

src_pol_2003_r1__Q07

Tetrahedron ABCD; M,N midpoints of AB,CD. A point P on MN satisfies MP=CN and NP=AC; O is circumcenter. Show O!=P implies OP perpendicular to MN.

In a tetrahedron $ABCD$, $M$ and $N$ are the midpoints of the edges $AB$ and $CD$, respectively. Suppose that a point $P$ on segment $MN$ satisfies $MP=CN$ and $NP=AC$. Let $O$ be the circumcenter of the tetrahedron. Show that if $O\ne P$, then $OP\perp MN$.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedro ABCD; M,N punti di mezzo di AB,CD. Un punto P su MN soddisfa MP=CN e NP=AC; O è il circosentro. Mostra che O!=P implica OP perpendicolare a MN.

In un tetraedro $ABCD$, $M$ e $N$ sono rispettivamente i punti medi dei bordi $AB$ e $CD$. Supponiamo che un punto $P$ sul segmento $MN$ soddisfi $MP=CN$ e $NP=AC$. Che il $O$ sia il circondario del tetraedro. Indicare che se $O\ne P$, allora $OP\perp MN$.

src_pol_2003_r1__Q08

Find all polynomials W with real coefficients such that if x+y is rational then W(x)+W(y) is rational.

Find all polynomials $W$ with real coefficients having the following property: if $x+y$ is a rational number, then so is $W(x)+W(y)$.

Topic: Algebra, Equazioni funzionali Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti i polinomi W con coefficienti reali in modo che se x+y è razionale allora W(x)+W(y) è razionale.

Trova tutti i polinomi $W$ con coefficienti reali che hanno la seguente proprietà: se $x+y$ è un numero razionale, allora è $W(x)+W(y)$.

src_pol_2003_r1__Q09

Cards 1..52; a shuffle is a permutation pi with pi(i)<pi(i+1) except at one index m. Prove or disprove any order reachable from any other in at most 5 shuffles.

On the table there are $52$ cards numbered with the numbers $1,2,\dots ,52$. A permutation $\pi$ of the set $\{1,2,\dots ,52\}$ is called a shuffle if there is a number $1\le m\le 51$ such that $\pi (i)<\pi (i+1)$ for $i=1,2,\dots ,m-1,m+1,\dots ,51$. Prove or disprove that starting with cards in an arbitrary order we can arrange them in any other order in at most $5$ shuffles.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Carte 1..52; un shuffle è una permutazione pi con pi(i)<pi(i+1) tranne in un indice m. Provare o respingere qualsiasi ordine raggiungibile da qualunque altro in un massimo di 5 mescolanze.

Nella tabella ci sono carte $52$ numerate con i numeri $1,2,\dots ,52$. Una permutazione $\pi$ dell’insieme $\{1,2,\dots ,52\}$ si chiama shuffle se c’è un numero $1\le m\le 51$ tale che $\pi (i)<\pi (i+1)$ per $i=1,2,\dots ,m-1,m+1,\dots ,51$. Prove o smentire che, a partire dalle carte in ordine arbitrario, possiamo organizzarle in qualsiasi altro ordine in un massimo di $5$ mescoli.

src_pol_2003_r1__Q10

Convex ABCD; P on BC, Q on CD with angle BAP = angle DAQ. Triangles ABP and ADQ have equal area iff their orthocenters lie on a line perpendicular to AC.

A convex quadrilateral $ABCD$ is given. Points $P$ and $Q$ different from its vertices lie on the segments $BC$ and $CD$, respectively, and satisfy the condition $\angle BAP=\angle DAQ$. Show that the triangles $ABP$ and $ADQ$ have the same area if and only if their orthocenters lie on a line perpendicular to $AC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

• ABCD convexa; P su BC, Q su CD con angolo BAP = angolo DAQ. I triangoli ABP e ADQ hanno superficie uguale se i loro ortocentri si trovano su una linea perpendicolare all’AC.*

Si dà un quadrilaterale convex $ABCD$. I punti $P$ e $Q$ diversi dai suoi vertici si trovano rispettivamente sui segmenti $BC$ e $CD$ e soddisfano la condizione $\angle BAP=\angle DAQ$. Indicare che i triangoli $ABP$ e $ADQ$ hanno la stessa superficie se e solo se i loro ortocentri si trovano su una linea perpendicolare a $AC$.

src_pol_2003_r1__Q11

For positive reals a,b,c,d with A=a^3+b^3+c^3+d^3 and B=bcd+cda+dab+abc, prove (a+b+c+d)^3 <= 4A+24B.

For positive real numbers $a$, $b$, $c$, $d$, denote $A=a^3+b^3+c^3+d^3$ and $B=bcd+cda+dab+abc$. Prove that $(a+b+c+d{)}^3\le 4A+24B.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per i reali positivi a,b,c,d con A=a^3+b^3+c^3+d^3 e B=bcd+cda+dab+abc, provare (a+b+c+d)^3 <= 4A+24B.

Per i numeri reali positivi $a$, $b$, $c$, $d$, indicare $A=a^3+b^3+c^3+d^3$ e $B=bcd+cda+dab+abc$. Provare che $(a+b+c+d{)}^3\le 4A+24B.$

src_pol_2003_r1__Q12