Olimpiade Matematica Polacca 2003 — Round 2

Existence of an integer n>2003 so that binomial coefficients a_k=C(n,k) have a divisibility property.

Show that there exists a positive integer $n>2003$ for which the sequence $a_k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$, $k=0,1,\dots ,2003$, has the following property: $a_k$ divides $a_m$ whenever $0\le k\le m\le 2003$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Esistenza di un numero intero n>2003 in modo che i coefficienti binomiali a_k=C(n,k) abbiano una proprietà di divisibilità.

Indicare che esiste un intero positivo $n>2003$ per il quale la sequenza $a_k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$, $k=0,1,\dots ,2003$, ha la seguente proprietà: $a_k$ divide $a_m$ ogni volta che $0\le k\le m\le 2003$.

src_pol_2003_r2__Q01

Cyclic quadrilateral ABCD; angle bisectors meet at P and Q; prove line PQ is perpendicular to MN where M,N are arc midpoints.

A quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle $o$. The bisectors of the angles $DAB$ and $ABC$ meet at $P$, and the bisectors of the angles $BCD$ and $CDA$ meet at $Q$. Let $M$ be the midpoint of the arc $BC$ of $o$ not containing $D$ and $A$, and $N$ be the midpoint of the arc $DA$ of $o$ not containing $B$ and $C$. Prove that the line through $P$ and $Q$ is perpendicular to $MN$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale ciclico; bisectori angolari si incontrano a P e Q; prova che la linea PQ è perpendicolare a MN dove M,N sono i punti di mezzo dell’arco.

Un quadrilaterale $ABCD$ è inserito in un cerchio $o$. I bisettori degli angoli $DAB$ e $ABC$ si incontrano a $P$, e i bisettori degli angoli $BCD$ e $CDA$ si incontrano a $Q$. Il $M$ deve essere il punto medio dell’arco $BC$ di $o$ non contenente $D$ e $A$, e $N$ deve essere il punto medio dell’arco $DA$ di $o$ non contenente $B$ e $C$. Provare che la linea che attraversa $P$ e $Q$ è perpendicolare a $MN$.

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For W(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x, find all pairs of distinct integers a,b with W(a)=W(b).

Consider the polynomial $W(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x$. Find all pairs of distinct integers $a,b$ satisfying $W(a)=W(b)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per W(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x, trovare tutte le coppie di integri distinti a,b con W(a)=W(b).

Considerate il polinomio $W(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x$. Trova tutte le coppie di integri distinti $a,b$ che soddisfano $W(a)=W(b)$.

src_pol_2003_r2__Q03

For each prime p>3 show there exist integers x,y,k with 0<2k<p such that kp+3=x^2+y^2.

Show that for each prime $p>3$ there exist integers $x,y,k$ with $0<2k<p$ such that $kp+3=x^2+y^2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per ogni primo p> 3 mostra esistono integri x,y,k con 0<2k<p tale che kp+3=x^2+y^2.

Indicare che per ogni primo $p>3$ esistono numeri interi $x,y,k$ con $0<2k<p$ tali che $kp+3=x^2+y^2$.

src_pol_2003_r2__Q04

From exterior point A two tangents touch circle at B,C; another tangent meets AB,AC at E,F; lines OE,OF meet BC at P,Q; prove BP,PQ,QC are sides of a triangle similar to AEF.

From a point $A$ exterior to a circle $o$ with center $O$, two tangent lines touching $o$ at $B$ and $C$ are drawn. Another tangent line to $o$ intersects the segments $AB$ and $AC$ at points $E$ and $F$, respectively. The lines $OE$ and $OF$ respectively meet the segments $BC$ at $P$ and $Q$. Prove that segments $BP$, $PQ$, and $QC$ are sides of a triangle similar to $△AEF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Dal punto esterno A due tangenti toccano un cerchio a B,C; un’altra tangente incontra AB,AC a E,F; le linee OE,OF incontra BC a P,Q; dimostrare che BP,PQ,QC sono lati di un triangolo simile a AEF.

Da un punto $A$ esterno a un cerchio $o$ con centro $O$, sono tracciate due linee tangenti che toccano $o$ a $B$ e $C$. Un’altra linea tangente a $o$ incrocia i segmenti $AB$ e $AC$ rispettivamente ai punti $E$ e $F$. Le linee $OE$ e $OF$ soddisfano rispettivamente i segmenti $BC$ a $P$ e $Q$. Prova che i segmenti $BP$, $PQ$ e $QC$ sono lati di un triangolo simile a $△AEF$.

src_pol_2003_r2__Q05

A function f on pairs of nonnegative integers satisfies given recurrences; given f(a,b)=n, find the number of integral solutions x of f(a,x)+f(b,x)=n.

A function $f$ from the pairs of nonnegative integers to the real numbers satisfies the following conditions: $f(0,0)=0,f(2x,2y)=f(2x+1,2y+1)=f(x,y),$ $f(2x+1,2y)=f(2x,2y+1)=f(x,y)+1$ for all nonnegative integers $x,y$. Let $n$ and $a,b$ be nonnegative integers such that $f(a,b)=n$. Find the number of integral solutions $x$ of the equation $f(a,x)+f(b,x)=n$.

Topic: Combinatoria, Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Una funzione f su coppie di integri non negativi soddisfa determinate ricorrenze; data f(a,b)=n, trova il numero di soluzioni integrali x di f(a,x) + f(b,x)=n.

Una funzione $f$ dalle coppie di integri non negativi ai numeri reali soddisfa le seguenti condizioni: $f(0,0)=0,f(2x,2y)=f(2x+1,2y+1)=f(x,y),$ $f(2x+1,2y)=f(2x,2y+1)=f(x,y)+1$ per tutti gli integri non negativi $x,y$. $n$ e $a,b$ siano integri non negativi come $f(a,b)=n$. Trova il numero di soluzioni integrali $x$ dell’equazione $f(a,x)+f(b,x)=n$.

src_pol_2003_r2__Q06