Olimpiade Matematica Polacca 2003 — Round 3

Altitude and midpoint line in acute triangle; prove SD = SM where S is circumcenter of CKL.

In an acute-angled triangle $ABC$, $CD$ is the altitude. A line through the midpoint $M$ of side $AB$ meets the rays $CA$ and $CB$ at $K$ and $L$ respectively such that $CK=CL$. Point $S$ is the circumcenter of the triangle $CKL$. Prove that $SD=SM$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Linea di altitudine e di punto medio in triangolo acuto; dimostrare SD = SM dove S è il centro circundante di CKL.

In un triangolo a angolo acuto $ABC$, $CD$ è l’altitudine. Una linea attraverso il punto medio $M$ del lato $AB$ incontra i raggi $CA$ e $CB$ rispettivamente a $K$ e $L$ in modo tale che $CK=CL$. Il punto $S$ è il centro circundante del triangolo $CKL$. Prova che $SD=SM$.

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Prove an inequality bounding a squared sum of powers of a for all strictly increasing nonnegative-integer sequences.

Let $0<a<1$ be a real number. Prove that for all finite, strictly increasing sequences $k_1,k_2,\dots ,k_n$ of nonnegative integers the following inequality holds: ${\left({\sum }_{i=1}^n{a}^{k_i}\right)}^2<\frac{1+a}{1-a}{\sum }_{i=1}^n{a}^{2k_i}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimostra una disuguaglianza che limita una somma quadrata di potenze di a per tutte le sequenze di numeri interi non negativi in aumento rigoroso.

$0<a<1$ sia un numero reale. Prove che per tutte le sequenze finite, in aumento rigoroso $k_1,k_2,\dots ,k_n$ di enti interi non negativi si verifica la seguente disuguaglianza: ${\left({\sum }_{i=1}^n{a}^{k_i}\right)}^2<\frac{1+a}{1-a}{\sum }_{i=1}^n{a}^{2k_i}.$

src_pol_2003_r3__Q02

Find all integer-coefficient polynomials W such that W(n) divides 2^n - 1 for every natural n.

Find all polynomials $W$ with integer coefficients satisfying the following condition: For every natural number $n$, $2^n-1$ is divisible by $W(n)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i polinomi a coefficiente intero W in modo tale che W(n) divida 2^n - 1 per ogni n naturale.

Trova tutti i polinomi $W$ con i coefficienti interi che soddisfano la seguente condizione: per ogni numero naturale $n$, $2^n-1$ è divisibile da $W(n)$.

src_pol_2003_r3__Q03

Given x^3,y^3,z^3 share a remainder mod prime p, show x^2+y^2+z^2 is divisible by x+y+z.

A prime number $p$ and integers $x,y,z$ with $0<x<y<z<p$ are given. Show that if the numbers $x^3,y^3,z^3$ give the same remainder when divided by $p$, then $x^2+y^2+z^2$ is divisible by $x+y+z$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dato che x^3,y^3,z^3 condivide un primo mod rimanente p, mostra x^2+y^2+z^2 è divisibile da x+y+z.

Sono indicati un numero primo $p$ e un numero intero $x,y,z$ con $0<x<y<z<p$. Indicare che se i numeri $x^3,y^3,z^3$ danno lo stesso residuo diviso per $p$, allora $x^2+y^2+z^2$ è divisibile per $x+y+z$.

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Insphere of tetrahedron ABCD touches face ABC at H; an exsphere touches it at O; if O is circumcenter then H is orthocenter of ABC.

The sphere inscribed in a tetrahedron $ABCD$ touches face $ABC$ at point $H$. Another sphere touches face $ABC$ at $O$ and the planes containing the other three faces at points exterior to the faces. Prove that if $O$ is the circumcenter of triangle $ABC$, then $H$ is the orthocenter of that triangle.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’insfera del tetraedro ABCD tocca la faccia ABC a H; un’exsfera lo tocca a O; se O è il circoncentro allora H è l’ortocentro di ABC.

La sfera scritta in un tetraedro $ABCD$ tocca la faccia $ABC$ al punto $H$. Un’altra sfera tocca la faccia $ABC$ a $O$ e i piani che contengono le altre tre facce si trovano nei punti esterni alle facce. Dimostra che se $O$ è il circoncentro del triangolo $ABC$, allora $H$ è l’ortocentro di quel triangolo.

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For even n, show there exists a permutation of {1,…,n} where each x_{i+1} is one of four expressions in x_i.

Let $n$ be an even positive integer. Show that there exists a permutation $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ of the set $\{1,2,\dots ,n\}$, such that for each $i\in \{1,2,\dots ,n\}$, $x_{i+1}\text{ is one of the numbers }2x_i,2x_i-1,2x_i-n,2x_i-n-1,$ where $x_{n+1}=x_1$.

Topic: Combinatoria Metodo: Induzione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Per n pari, mostrare che esiste una permutazione di {1,…,n} dove ogni x_{i+1} è una delle quattro espressioni in x_i.

Lasciate che $n$ sia un numero intero positivo pari. Indicare che esiste una permutazione $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ del set $\{1,2,\dots ,n\}$, tale che per ogni $i\in \{1,2,\dots ,n\}$, $x_{i+1}\text{ is one of the numbers }2x_i,2x_i-1,2x_i-n,2x_i-n-1,$ dove $x_{n+1}=x_1$.

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