Olimpiade Matematica Polacca 2004 — Round 1

A light ray reflecting inside a rectilinear polygon, starting along an angle bisector, eventually reaches a vertex.

Let be given a polygon with rational side lengths and all angles equal to $90^{\circ }$ or $270^{\circ }$. A ray of light starts at one of the vertices of the polygon and goes in the direction of the interior angle bisector at that vertex. The ray reflects according to the law of reflection. Prove that the ray will eventually enter some vertex of the polygon.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un raggio di luce che si riflette all’interno di un poligono rettilineo, partendo lungo un bisettore angolare, raggiunge infine un vertice.

Si deve dare un poligono con lunghezze laterali razionali e tutti gli angoli uguali a $90^{\circ }$ o $270^{\circ }$. Un raggio di luce inizia ad uno dei vertici del poligono e va nella direzione del bisettore dell’angolo interno di quel vertice. Il raggio riflette secondo la legge del riflesso. Prove che il raggio finirà per entrare in qualche vertice del poligono.

src_pol_2004_r1__Q01

Existence of a prime $p$ and nonnegative integers $x,y,z$ with $(12x+5)(12y+7)=p^z$.

Decide whether there exist a prime $p$ and nonnegative integers $x,y,z$ such that $(12x+5)(12y+7)=p^z$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Esistenza di un numero intero primo $p$ e non negativo $x,y,z$ con $(12x+5)(12y+7)=p^z$.

Decidere se esiste un primo $p$ e un intero non negativo $x,y,z$ tale che $(12x+5)(12y+7)=p^z$.

src_pol_2004_r1__Q02

Find all functions $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ with $f(x^2+y)=xf(x)+f(y)$ for all rationals.

Find all functions $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ such that for all rational $x,y$ $f(x^2+y)=xf(x)+f(y).$

Topic: Equazioni funzionali Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ con $f(x^2+y)=xf(x)+f(y)$ per tutti i razionali.

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ in modo tale che per tutte le funzioni razionali $x,y$ $f(x^2+y)=xf(x)+f(y).$

src_pol_2004_r1__Q03

For all equilateral triangles circumscribed about an acute triangle, their centers lie on one circle.

An acute-angled triangle $ABC$ is given. Consider all equilateral triangles $XYZ$ in this plane such that the points $A,B,C$ lie on the segments $YZ,ZX,XY$, respectively. Prove that the centers of triangles $XYZ$ lie on a single circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Per tutti i triangoli equilaterali circondati da un triangolo acuto, i loro centri si trovano su un cerchio.

Si dà un triangolo a angolo acuto $ABC$. Considerare tutti i triangoli equilaterali $XYZ$ in questo piano in modo che i punti $A,B,C$ si trovino sui segmenti $YZ,ZX,XY$, rispettivamente. Prova che i centri dei triangoli $XYZ$ si trovano su un singolo cerchio.

src_pol_2004_r1__Q04

Show $N(m,n+1)=N(n,m+1)$, where $N(m,n)$ counts non-decreasing length-$m$ sequences from $\{1,\dots ,n\}$.

For positive integers $m$ and $n$, let $N(m,n)$ denote the number of non-decreasing sequences of $m$ terms from $\{1,2,\dots ,n\}$. Show that $N(m,n+1)=N(n,m+1)$.

Topic: Combinatoria Metodo: Biiezione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Mostra $N(m,n+1)=N(n,m+1)$, dove $N(m,n)$ conti le sequenze di lunghezza non in diminuzione-$m$ da $\{1,\dots ,n\}$.

Per i numeri interi positivi $m$ e $n$, $N(m,n)$ indica il numero di sequenze non in diminuzione dei termini $m$ provenienti da $\{1,2,\dots ,n\}$. Mostra che $N(m,n+1)=N(n,m+1)$.

src_pol_2004_r1__Q05

For real $c$ giving $P$ five real roots, find the sum of absolute values of the coefficients of $Q$.

Suppose $c$ is a real number such that the polynomial $P(x)=x^5-5x^3+4x-c$ has five real zeroes $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Compute in terms of $c$ the sum of the absolute values of the coefficients of the polynomial $Q(x)=(x-x_1^2)(x-x_2^2)(x-x_3^2)(x-x_4^2)(x-x_5^2).$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per $c$ reale che dà $P$ cinque radici reali, trovare la somma dei valori assoluti dei coefficienti di $Q$.

Supponiamo che $c$ sia un numero reale tale che il polinomio $P(x)=x^5-5x^3+4x-c$ abbia cinque zeri reali $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Calcolare in $c$ la somma dei valori assoluti dei coefficienti del polinomio $Q(x)=(x-x_1^2)(x-x_2^2)(x-x_3^2)(x-x_4^2)(x-x_5^2).$

src_pol_2004_r1__Q06

Find all positive integer solutions of $a^2+b^2=c^2$ with $a,c$ prime and $b$ a product of at most three primes.

Find all positive integer solutions of the equation $a^2+b^2=c^2$ such that $a$ and $c$ are prime and $b$ is a product of at most three prime numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali positive di $a^2+b^2=c^2$ con $a,c$ primo e $b$ un prodotto di almeno tre primi.

Trova tutte le soluzioni di numeri interi positivi dell’equazione $a^2+b^2=c^2$ in modo tale che $a$ e $c$ siano prime e $b$ sia un prodotto di un massimo di tre numeri primi.

src_pol_2004_r1__Q07

For a point $P$ inside tetrahedron $ABCD$, prove $\angle APB+\angle BPC+\angle CPD+\angle DPA>360^{\circ }$.

Point $P$ lies inside a tetrahedron $ABCD$. Prove that $\angle APB+\angle BPC+\angle CPD+\angle DPA>360^{\circ }.$

Topic: Geometria solida Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Per un punto $P$ all’interno del tetraedro $ABCD$, provare $\angle APB+\angle BPC+\angle CPD+\angle DPA>360^{\circ }$.

Il punto $P$ si trova all’interno di un tetraedro $ABCD$. Provare che $\angle APB+\angle BPC+\angle CPD+\angle DPA>360^{\circ }.$

src_pol_2004_r1__Q08

For nonconstant integer polynomials $W_1,\dots ,W_n$, some integer $a$ makes all $W_k(a)$ composite.

Let be given nonconstant polynomials $W_1(x),W_2(x),\dots ,W_n(x)$ with integer coefficients. Prove that there exists an integer $a$ such that the numbers $W_1(a),W_2(a),\dots ,W_n(a)$ are all composite.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per i polinomi di numeri interi non costanti $W_1,\dots ,W_n$, un certo numero $a$ rende tutti $W_k(a)$ composti.

Si devono dare polinomi non costanti $W_1(x),W_2(x),\dots ,W_n(x)$ con coefficienti interi. Prova che esiste un numero intero $a$ tale che i numeri $W_1(a),W_2(a),\dots ,W_n(a)$ siano tutti composti.

src_pol_2004_r1__Q09

A convex polygon with an even number of sides, side lengths 2 or 3 (each count even), has two vertices bisecting its perimeter.

A convex polygon has an even number of sides. The length of each side is either $2$ or $3$, and the number of sides of each length is even. Show that there exist two vertices of the polygon that bisect its perimeter.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Un poligono convex con un numero pari di lati, lunghezze laterali 2 o 3 (ogni numero pari), ha due vertici che suddividono il suo perimetro.

Un poligono converso ha un numero pari di lati. La lunghezza di ciascun lato è $2$ o $3$ e il numero di lati di ciascuna lunghezza è pari. Mostrare che esistono due vertici del poligono che dividono il suo perimetro.

src_pol_2004_r1__Q10

In an isosceles trapezoid with an inscribed rhombus $KLMN$, the circumcenter $O$ lies on line $KM$.

Let $O$ be the circumcenter of an isosceles trapezoid $ABCD$ with the bases $AB$ and $CD$. Points $K,L,M,N$ respectively lie on the sides $AB,BC,CD,DA$ so that $KLMN$ is a rhombus. Prove that $O$ lies on the line $KM$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un trapezoide a isosceles con un rombo inscritto $KLMN$, il circondario $O$ si trova sulla linea $KM$.

Il $O$ deve essere il centro circundante di un trapezoide $ABCD$ con le basi $AB$ e $CD$. I punti $K,L,M,N$ si trovano rispettivamente sui lati $AB,BC,CD,DA$ in modo che $KLMN$ sia un rombo. Prova che $O$ si trova sulla linea $KM$.

src_pol_2004_r1__Q11

Find the number of real solutions of a cyclic cubic-quartic system in $x_1,\dots ,x_n$ for $n\ge 5$.

Let $n\ge 5$ be an integer. Find the number of solutions in real numbers $x_1,\dots ,x_n$ of the system $x_{i-2}^3+x_{i-1}^3+x_i^3=x_i^4+x_{i+1}^3+x_{i+2}^2\text{for }i=1,2,\dots ,n,$ where $x_{-1}=x_{n-1}$, $x_0=x_n$, $x_1=x_{n+1}$, $x_2=x_{n+2}$.

Topic: Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca nel $x_1,\dots ,x_n$ il numero di soluzioni reali di un sistema di quarticche cubiche cicliche per $n\ge 5$.

$n\ge 5$ sia un numero intero. Trova il numero di soluzioni in numeri reali $x_1,\dots ,x_n$ del sistema $x_{i-2}^3+x_{i-1}^3+x_i^3=x_i^4+x_{i+1}^3+x_{i+2}^2\text{for }i=1,2,\dots ,n,$ dove $x_{-1}=x_{n-1}$, $x_0=x_n$, $x_1=x_{n+1}$, $x_2=x_{n+2}$.

src_pol_2004_r1__Q12