Olimpiade Matematica Polacca 2004 — Round 2

Positive reals with cyclic triple-sum power equalities imply all equal

Positive numbers $a,b,c,d$ satisfy the equalities $a^2+b^2+c^2=a^4$ $b^2+c^2+d^2=b^4$ $c^2+d^2+a^2=c^4$ $d^2+a^2+b^2=d^4.$ Prove that $a=b=c=d$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Simmetria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi con ugualità di potenza della triplice somma ciclica implicano tutti uguali

I numeri positivi $a,b,c,d$ soddisfano le equazioni $a^2+b^2+c^2=a^4$ $b^2+c^2+d^2=b^4$ $c^2+d^2+a^2=c^4$ $d^2+a^2+b^2=d^4.$ Prove che $a=b=c=d$.

src_pol_2004_r2__Q01

Concurrent diagonals in convex hexagon with equal sides and angle sum

In a convex hexagon $ABCDEF$ all sides have equal length and $\angle A+\angle C+\angle E=\angle B+\angle D+\angle F.$ Prove that the diagonals $AD$, $BE$, and $CF$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Diagonali concomitanti in esagono converso con lati e angoli uguali

In un esagono converso $ABCDEF$ tutti i lati hanno la stessa lunghezza e $\angle A+\angle C+\angle E=\angle B+\angle D+\angle F.$ Prove che le diagonali $AD$, $BE$ e $CF$ sono simultanee.

src_pol_2004_r2__Q02

Sequences of 1 and -1 with multiplicative and density properties

Determine all sequences $a_1,a_2,a_3,\dots$ of $1$ and $-1$ that satisfy the equality $a_{mn}=a_m{a}_n$ for all $m,n$ and have the property: Among any three successive terms $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$, both $1$ and $-1$ occur.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenze di 1 e -1 con proprietà moltiplicative e densità

Determinare tutte le sequenze $a_1,a_2,a_3,\dots$ di $1$ e $-1$ che soddisfano l’uguaglianza $a_{mn}=a_m{a}_n$ per tutte le $m,n$ e che hanno la proprietà: tra i tre termini successivi $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$, si verificano sia $1$ che $-1$.

src_pol_2004_r2__Q03

Find all positive integers with exactly sqrt(n) positive divisors

Find all positive integers $n$ which have exactly $\sqrt{n}$ positive divisors.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi con esattamente sqrt(n) divisori positivi

Trova tutti i numeri interi positivi $n$ che hanno esattamente $\sqrt{n}$ divisori positivi.

src_pol_2004_r2__Q04

Equal ratio PQ/AD = PR/BE for cevians meeting and angle bisector

Points $D$ and $E$ respectively are taken on the sides $BC$ and $CA$ of a triangle $ABC$ such that $BD=AE$. Segments $AD$ and $BE$ meet at $P$. The bisector of $\angle ACB$ intersects segments $AD$ and $BE$ at $Q$ and $R$ respectively. Prove that $\frac{PQ}{AD}=\frac{PR}{BE}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

PQ/AD = PR/BE per il bisettore di incontro e angolo dei ceviani

I punti $D$ e $E$ sono presi rispettivamente sui lati $BC$ e $CA$ di un triangolo $ABC$ in modo tale che $BD=AE$. I segmenti $AD$ e $BE$ si incontrano a $P$. Il bisettore di $\angle ACB$ interseca i segmenti $AD$ e $BE$ rispettivamente a $Q$ e $R$. Prove che $\frac{PQ}{AD}=\frac{PR}{BE}$.

src_pol_2004_r2__Q05

Select n/2 persons at round table, each between two acquaintances

There are $n\ge 5$ persons at a party. Assume that among any three of them some two know each other. Show that one can select at least $n/2$ of the persons and arrange them at a round table so that each person sits between two of his/her acquaintances.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Induzione Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Selezionare n/2 persone a tavola rotonda, ciascuna tra due conoscenti

Ci sono persone $n\ge 5$ in una festa. Supponiamo che tra i tre ci siano due che si conoscono. Mostrare che si può selezionare almeno $n/2$ delle persone e organizzarle su una tavola rotonda in modo che ciascuna persona si sedi tra due delle sue conoscenze.

src_pol_2004_r2__Q06