Olimpiade Matematica Polacca 2004 — Round 3

Two circles through D tangent at A and B; collinearity of D, E, F

A point $D$ is taken on the side $AB$ of a triangle $ABC$. Two circles passing through $D$ and touching $AC$ and $BC$ at $A$ and $B$ respectively intersect again at $E$. Let $F$ be the point symmetric to $C$ with respect to the perpendicular bisector of $AB$. Prove that the points $D$, $E$, $F$ lie on a line.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi attraverso la tangente D a A e B; collinearità di D, E, F

Un punto $D$ è preso sul lato $AB$ di un triangolo $ABC$. Due cerchi che attraversano $D$ e toccano $AC$ e $BC$ rispettivamente a $A$ e $B$ si incrociano di nuovo a $E$. Il punto $F$ deve essere simmetrico a $C$ rispetto al bisettore perpendicolare di $AB$. Dimostrare che i punti $D$, $E$, $F$ si trovano su una linea.

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Polynomial with coprime values; infinite pairwise-coprime set

Let $W$ be a polynomial with integer coefficients such that there exist integers at which $W$ takes coprime values. Show that there exists an infinite set $S$ of integers at which the values $W$ takes are pairwise coprime.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Polinomio con valori di coprimo; insieme infinito di coprimo in coprimo *

Che $W$ sia un polinomio con coefficienti interi in modo che esistano interi a cui $W$ prende valori copriemi. Mostrare che esiste un insieme infinito $S$ di integri in cui i valori $W$ sono copriemi in coprieme.

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Largest number of draw-triples in round-robin tournament

On a tournament with $n\ge 3$ participants, every two participants played exactly one match and there were no draws. A three-element set of participants is called a draw-triple if it can be enumerated so that the first defeated the second, the second defeated the third, and the third defeated the first. Find the largest possible number of draw-triples on such a tournament.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Più alto numero di tripli di sorteggi nel torneo di round-robin

In un torneo con partecipanti $n\ge 3$, ogni due partecipanti hanno giocato esattamente una partita e non ci sono stati tassi. Un insieme di partecipanti a tre elementi è chiamato un triplo di pareggio se può essere enumerato in modo che il primo sconfigga il secondo, il secondo sconfigga il terzo e il terzo sconfigga il primo. Trova il maggior numero possibile di tripli di sorte in un tale torneo.

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Inequality involving square roots for real a, b, c

If $a,b,c$ are real numbers, prove that $\sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(c^2+a^2)}\ge \sqrt{3(a+b{)}^2+5(b+c{)}^2+3(c+a{)}^2}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Inequità che coinvolge radici quadrate per reali a, b, c

Se $a,b,c$ sono numeri reali, dimostrare che $\sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(c^2+a^2)}\ge \sqrt{3(a+b{)}^2+5(b+c{)}^2+3(c+a{)}^2}.$

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Greatest number of equiangular lines through a point in space

Find the greatest possible number of lines passing through a single point in space such that the angle between any two of them is the same.

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il maggior numero di linee equivalenti attraverso un punto nello spazio

Trova il maggior numero possibile di linee che attraversano un singolo punto nello spazio in modo tale che l’angolo tra due di esse sia lo stesso.

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Largest number of consecutive terms divisible by m in a recursive sequence

An integer $m>1$ is given. The infinite sequence $x_1,x_2,x_3,\dots$ is defined by $x_i=\{\begin{array}{ll}{2}^i& \text{for }i<m,\\ x_{i-1}+x_{i-2}+\cdots +x_{i-m+1}& \text{for }i\ge m.\end{array}$ Find the largest natural number $k$ such that there exist $k$ successive terms of this sequence which are divisible by $m$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Congruenze, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Meno numero di termini consecutivi divisibili per m in una sequenza ricorsiva

Si dà un numero intero $m>1$. La sequenza infinita $x_1,x_2,x_3,\dots$ è definita da $x_i=\{\begin{array}{ll}{2}^i& \text{for }i<m,\\ x_{i-1}+x_{i-2}+\cdots +x_{i-m+1}& \text{for }i\ge m.\end{array}$ Trova il numero naturale più grande $k$ in modo tale che esistano $k$ termini successivi di questa sequenza che sono divisibili da $m$.

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