Olimpiade Matematica Polacca 2005 — Round 1

Solve a symmetric system of three real equations.

Solve in real numbers the system $x^2=yz+1$ $y^2=zx+2$ $z^2=xy+4.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Risolvere un sistema simmetrico di tre equazioni reali.

Risolvere in numeri reali il sistema $x^2=yz+1$ $y^2=zx+2$ $z^2=xy+4.$

src_pol_2005_r1__Q01

Find all n>1 for which a sum of squares is a power of a prime.

Find all integers $n>1$ for which $2^2+3^2+\cdots +n^2$ is a power of a prime.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutti n>1 per i quali la somma dei quadrati è una potenza di un primo.

Trova tutti gli enti $n>1$ per i quali $2^2+3^2+\cdots +n^2$ è una potenza di un primo.

src_pol_2005_r1__Q02

In an acute triangle, with a foot of altitude and a further projection, prove two lines perpendicular.

In an acute-angled $ABC$ point $D$ is the projection of $C$ onto $AB$, and $E$ is the projection of $D$ onto $BC$. Point $F$ is taken on the segment $DE$ so that $EF:FD=AD:DB$. Prove that the lines $CF$ and $AE$ are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un triangolo acuto, con un piede di altitudine e un’ulteriore proiezione, dimostrare due linee perpendicolari.

In un angolo acuto $ABC$ punto $D$ è la proiezione di $C$ su $AB$, e $E$ è la proiezione di $D$ su $BC$. Il punto $F$ è preso sul segmento $DE$ in modo che $EF:FD=AD:DB$. Prove che le linee $CF$ e $AE$ sono perpendicolari.

src_pol_2005_r1__Q03

Find the largest possible value of an expression with two constrained sequences.

A natural number $n$ and positive real numbers $a$ and $b$ are given. Find the largest possible value of the expression $x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n,$ where $x_i,y_i$ are numbers from the interval $[0,1]$ such that $x_1+x_2+\cdots +x_n\le a$ and $y_1+y_2+\cdots +y_n\le b$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il più grande valore possibile di un’espressione con due sequenze limitate.

Sono dati un numero naturale $n$ e numeri reali positivi $a$ e $b$. Trova il valore più grande possibile dell’espressione $x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n,$ dove $x_i,y_i$ sono numeri dell’intervallo $[0,1]$ in modo tale che $x_1+x_2+\cdots +x_n\le a$ e $y_1+y_2+\cdots +y_n\le b$.

src_pol_2005_r1__Q04

Cyclic quadrilateral; two triangles have equal inradii, prove the other two do too.

A quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle, and the incircles of the triangles $ABC$ and $BCD$ have equal radii. Prove that the incircles of the triangles $CDA$ and $DAB$ have equal radii as well.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico; due triangoli hanno uguali inradi, dimostrate che anche gli altri due lo fanno.

Un quadrilaterale $ABCD$ è inserito in un cerchio e le incircoli dei triangoli $ABC$ e $BCD$ hanno uguali radii. Prove che anche gli incircoli dei triangoli $CDA$ e $DAB$ hanno uguali raggi.

src_pol_2005_r1__Q05

Decide whether an infinite positive-integer sequence can satisfy a reciprocal recurrence.

Determine whether there exists an infinite sequence $a_0,a_1,a_2,\dots$ of positive integers satisfying $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+2}}$ for all $n\in \mathbb{N}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Decidere se una sequenza infinita di numeri interi positivi può soddisfare una ricorrenza reciproca.

Determinare se esiste una sequenza infinita $a_0,a_1,a_2,\dots$ di integri positivi che soddisfa $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+2}}$ per tutti $n\in \mathbb{N}$.

src_pol_2005_r1__Q06

Three pairwise tangent spheres touch a plane; find radii from the triangle of contact points.

Three spheres are pairwise externally tangent and touch a plane at points $A,B,C$. Given that $BC=a,CA=b,AB=c$, find the radii of the spheres.

Topic: Geometria solida Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre sfere tangenti in coppia toccano un piano; trovare i raggi dal triangolo dei punti di contatto.

Tre sfere sono in coppia tangenti esternamente e toccano un piano nei punti $A,B,C$. Dato che $BC=a,CA=b,AB=c$, trovare i raggi delle sfere.

src_pol_2005_r1__Q07

Lamps on a circle toggled in blocks of k; find k for which all can be turned off.

On a circle there are given $n$ lamps, each of which can be either turned on or turned off. A sequence of operations is performed: in every operation one selects $k$ successive lamps and changes the state of each of them. Initially all the lamps are turned on. For a given positive integer $n$, find all positive integers $k$ for which one can turn all the lamps off.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Lampi su un cerchio con blocchi di k; trovare k per il quale tutti possono essere spenti.

Su un cerchio ci sono lampade $n$, ognuna delle quali può essere accesa o spenta. Si esegue una sequenza di operazioni: in ogni operazione si selezionano le lampade successive $k$ e si cambia lo stato di ciascuna di esse. Inizialmente tutte le lampade sono accese. Per un dato numero intero positivo $n$, trovare tutti i numeri interi positivi $k$ per i quali si possono spegnere tutte le lampade.

src_pol_2005_r1__Q08

Find all real a so that a given recurrence sequence is 8-periodic.

Determine all real numbers $a$ such that the sequence $(x_n)$ given by $x_0=\sqrt{3},x_{n+1}=\frac{1+a{x}_n}{a-x_n}\text{for }n=0,1,2,\dots$ satisfies the condition $x_{n+8}=x_n$ for all $n\ge 0$.

Topic: Algebra, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Trova tutte le a reali in modo che una data sequenza di ricorrenze sia 8-periodico.

Determinare tutti i numeri reali $a$ in modo tale che la sequenza $(x_n)$ data da $x_0=\sqrt{3},x_{n+1}=\frac{1+a{x}_n}{a-x_n}\text{for }n=0,1,2,\dots$ soddisfi la condizione $x_{n+8}=x_n$ per tutti $n\ge 0$.

src_pol_2005_r1__Q09

Three random subsets of an n-set; find the most probable size of their intersection.

Three subsets $A,B,C$ of a given $n$-element set $X$ have been chosen at random. It is assumed that each of the $2^n$ subsets of $X$ is equiprobable. Find the most probable number of elements of the set $A\cap B\cap C$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tre sottoinsiemi casuali di un n-set; trovare la dimensione più probabile della loro intersezione.

Sono stati scelti a caso tre sottoinsiemi $A,B,C$ di un dato set $n$-elemento $X$. Si presume che ognuno dei sottoinsiemi $2^n$ di $X$ sia equiprobabile. Trova il numero più probabile di elementi dell’insieme $A\cap B\cap C$.

src_pol_2005_r1__Q10

Inscribed circle in a convex quadrilateral; perpendicular through diagonals’ intersection gives equal segments.

A circle with center $I$ is inscribed in a convex quadrilateral $ABCD$, where $I$ does not lie on $AC$. The diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E$. The line through $E$ perpendicular to $BD$ meets the lines $AI$ and $CI$ at $P$ and $Q$, respectively. Prove that $PE=EQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo inciso in un quadrilaterale convexo; perpendicolare attraverso l’intersezione di diagonali dà segmenti uguali.

Un cerchio con il centro $I$ è inserito in un quadrilaterale converso $ABCD$, dove $I$ non si trova su $AC$. Le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano a $E$. La linea attraverso $E$ perpendicolare a $BD$ incontra rispettivamente le linee $AI$ e $CI$ a $P$ e $Q$. Prove che $PE=EQ$.

src_pol_2005_r1__Q11

Seventh iterate of 2^x; show g(3)-g(0) is divisible by g(2)-g(0).

Consider the functions $f(x)=2^x$ and $g(x)=f(f(f(f(f(f(f(x)))))))$ (the seventh iteration of $f$). Show that the number $g(3)-g(0)$ is divisible by $g(2)-g(0)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Settima iterazione di 2^x; mostra g(3)-g(0) è divisibile da g(2)-g(0).

Considerate le funzioni $f(x)=2^x$ e $g(x)=f(f(f(f(f(f(f(x)))))))$ (la settima iterazione di $f$). Indicare che il numero $g(3)-g(0)$ è divisibile per $g(2)-g(0)$.

src_pol_2005_r1__Q12