Olimpiade Matematica Polacca 2005 — Round 2

Find all positive integers n making n^n+1 and (2n)^{2n}+1 both prime.

Find all positive integers $n$ for which $n^n+1$ and $(2n{)}^{2n}+1$ are prime numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n che rendono n^n+1 e (2n)^{2n}+1 entrambi primi.

Trova tutti gli integri positivi $n$ per i quali $n^n+1$ e $(2n{)}^{2n}+1$ sono numeri primi.

src_pol_2005_r2__Q01

In convex quadrilateral ABCD, M is the midpoint of diagonal AC; prove that if angle BAD = angle BMC = angle CMD then a circle can be inscribed in ABCD.

In a convex quadrilateral $ABCD$, point $M$ is the midpoint of diagonal $AC$. Prove that if $\angle BAD=\angle BMC=\angle CMD$, then a circle can be inscribed in quadrilateral $ABCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

In ABCD convex quadrilaterale, M è il punto medio di AC diagonale; dimostrare che se angolo BAD = angolo BMC = angolo CMD allora un cerchio può essere inscritto in ABCD.

In un quadrilaterale converso $ABCD$, il punto $M$ è il punto medio della diagonale $AC$. Prova che se $\angle BAD=\angle BMC=\angle CMD$, allora un cerchio può essere inserito in quadrilaterale $ABCD$.

src_pol_2005_r2__Q02

With n>=2 points no four coplanar, K segments (K>1) drawn and T triangles formed, prove 9T^2 < 2K^3.

In space are given $n\ge 2$ points, no four of which are coplanar. Some of these points are connected by segments. Let $K$ be the number of segments ($K>1$) and $T$ be the number of formed triangles. Prove that $9T^2<2K^3$.

Topic: Combinatoria Metodo: Disuguaglianze, Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Con n>=2 punti senza quattro coplanari, segmenti K (K>1) disegnati e triangoli T formati, dimostrare 9T^2 < 2K^3.

In spazio sono dati $n\ge 2$ punti, di cui non quattro sono coplanari. Alcuni di questi punti sono collegati da segmenti. $K$ è il numero di segmenti ($K>1$) e $T$ è il numero di triangoli formati. Prove che $9T^2<2K^3$.

src_pol_2005_r2__Q03

For W(x)=x^2+ax+b with integer coefficients, for every prime p there is k with both W(k) and W(k+1) divisible by p; show there is m with W(m)=W(m+1)=0.

The polynomial $W(x)=x^2+ax+b$ with integer coefficients has the following property: For every prime number $p$ there is an integer $k$ such that both $W(k)$ and $W(k+1)$ are divisible by $p$. Show that there is an integer $m$ such that $W(m)=W(m+1)=0$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per W(x)=x^2+ax+b con coefficienti interi, per ogni primo p c’è k con entrambi W(k) e W(k+1) divisibile da p; mostrare c’è m con W(m)=W(m+1)=0.

Il polinomio $W(x)=x^2+ax+b$ con coefficienti interi ha la seguente proprietà: per ogni numero primo $p$ c’è un intero $k$ tale che sia $W(k)$ che $W(k+1)$ siano divisibili da $p$. Indicare che esiste un numero intero $m$ tale che $W(m)=W(m+1)=0$.

src_pol_2005_r2__Q04

In rhombus ABCD with angle BAD=60 degrees, E on AB and F on AD satisfy angle ECF = angle ABD; lines CE and CF meet line BD at P and Q; prove PQ/EF = AB/BD.

A rhombus $ABCD$ with $\angle BAD=60^{\circ }$ is given. Points $E$ on side $AB$ and $F$ on side $AD$ are such that $\angle ECF=\angle ABD$. Lines $CE$ and $CF$ respectively meet line $BD$ at $P$ and $Q$. Prove that $\frac{PQ}{EF}=\frac{AB}{BD}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel rombo ABCD con angolo BAD=60 gradi, E su AB e F su AD soddisfano angolo ECF = angolo ABD; le linee CE e CF incontrano la linea BD a P e Q; dimostrano PQ/EF = AB/BD.

Si indica un rombo $ABCD$ con $\angle BAD=60^{\circ }$. I punti $E$ sul lato $AB$ e $F$ sul lato $AD$ sono tali da $\angle ECF=\angle ABD$. Le linee $CE$ e $CF$ riscontrano rispettivamente le linee $BD$ a $P$ e $Q$. Prove che $\frac{PQ}{EF}=\frac{AB}{BD}$.

src_pol_2005_r2__Q05

For real a,b,c in [0,1], prove a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1) <= 2.

Prove that if real numbers $a,b,c$ lie in the interval $[0,1]$, then $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\le 2.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per la vera a,b,c in [0,1], provare a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1) <= 2.

Prova che se i numeri reali $a,b,c$ si trovano nell’intervallo $[0,1]$, allora $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\le 2.$

src_pol_2005_r2__Q06