Olimpiade Matematica Polacca 2005 — Round 3

Find all positive integer triples (x,y,n) with (x-y)^n = xy.

Find all triples $(x,y,n)$ of positive integers satisfying the equation $(x-y{)}^n=xy.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli interi positivi (x,y,n) con (x-y)^n = xy.

Trova tutti i triples $(x,y,n)$ di numeri interi positivi che soddisfano l’equazione $(x-y{)}^n=xy.$

src_pol_2005_r3__Q01

Convex quadrilateral inscribed in circle o; point S with given angle equalities; bisector of angle ASB meets circle at P, Q; prove PS=QS.

A convex quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle $o$. Point $S$ inside the circle is such that $\angle SAD=\angle SCB$ and $\angle SDA=\angle SBC$. The bisector of angle $ASB$ intersects the circle $o$ at points $P$ and $Q$. Prove that $PS=QS$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero convex inscritto in cerchio o; punto S con le equazioni di angolo indicate; bisector di angolo ASB incontra il cerchio a P, Q; prova PS=QS.

Un quadrilaterale convex $ABCD$ è inserito in un cerchio $o$. Il punto $S$ all’interno del cerchio è tale che $\angle SAD=\angle SCB$ e $\angle SDA=\angle SBC$. Il bisettore di angolo $ASB$ interseca il cerchio $o$ nei punti $P$ e $Q$. Prove che $PS=QS$.

src_pol_2005_r3__Q02

2n x 2n board, 4n^2 reals with sum 0, each at most 1 in absolute value; prove every column or row sum has absolute value at most n.

In a $2n\times 2n$ board ($n\in \mathbb{N}$) are written $4n^2$ real numbers with the sum $0$ (one number in each cell). The absolute value of any of the numbers does not exceed $1$. Prove that the absolute value of all numbers in a column or a row does not exceed $n$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

2n x 2n tabella, 4n^2 reali con somma 0, ciascuna al massimo 1 in valore assoluto; dimostrare che ogni somma di colonne o righe ha un valore assoluto al massimo n.

In una tabella $2n\times 2n$ ($n\in \mathbb{N}$) sono scritti $4n^2$ numeri reali con la somma $0$ (un numero in ogni cella). Il valore assoluto di qualsiasi numero non supera $1$. Prova che il valore assoluto di tutti i numeri di una colonna o di una riga non supera $n$.

src_pol_2005_r3__Q03

Given c>-2, a sum of square-root terms equal to sqrt(c+2) times the sum of the x_i implies c=2 or all x_i equal.

A real number $c>-2$ is given. Prove that if positive numbers $x_1,x_2,\dots ,x_n$ satisfy $\sqrt{x_1^2+c{x}_1{x}_2+x_2^2}+\sqrt{x_2^2+c{x}_2{x}_3+x_3^2}+\cdots +\sqrt{x_n^2+c{x}_n{x}_1+x_1^2}=\sqrt{c+2}(x_1+x_2+\cdots +x_n),$ then $c=2$ or $x_1=x_2=\cdots =x_n$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Dato c>-2, una somma di termini di radice quadrata uguale a sqrt(c+2) volte la somma della x_i implica c=2 o tutte le x_i uguali.

Si dà un numero reale $c>-2$. Prova che se i numeri positivi $x_1,x_2,\dots ,x_n$ soddisfano $\sqrt{x_1^2+c{x}_1{x}_2+x_2^2}+\sqrt{x_2^2+c{x}_2{x}_3+x_3^2}+\cdots +\sqrt{x_n^2+c{x}_n{x}_1+x_1^2}=\sqrt{c+2}(x_1+x_2+\cdots +x_n),$, $c=2$ o $x_1=x_2=\cdots =x_n$.

src_pol_2005_r3__Q04

For integer k>1 and m=4k^2-5, find positive integers a,b so the recurrence x_0=a, x_1=b, x_{n+2}=x_{n+1}+x_n has all terms coprime to m.

Let $k>1$ be an integer, and let $m=4k^2-5$. Show that there exist positive integers $a$ and $b$ such that the sequence $(x_n)$ defined by $x_0=a,x_1=b,x_{n+2}=x_{n+1}+x_n\text{for }n=0,1,2,\dots$ has all of its terms relatively prime to $m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per l’intero k>1 e m=4k^2-5, trovare l’intero positivo a,b così la ricorrenza x_0=a, x_1=b, x_{n+2}=x_{n+1}+x_n ha tutti i termini coprime a m.

$k>1$ sia un numero intero e $m=4k^2-5$. Mostra che esistono integri positivi $a$ e $b$ in modo tale che la sequenza $(x_n)$ definita da $x_0=a,x_1=b,x_{n+2}=x_{n+1}+x_n\text{for }n=0,1,2,\dots$ abbia tutti i suoi termini relativamente primi a $m$.

src_pol_2005_r3__Q05

Every convex hexagon of area 1 contains a convex hexagon of area at least 3/4.

Show that every convex hexagon of area $1$ contains a convex hexagon of area not smaller than $\frac{3}{4}$.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ogni esagono convex dell’area 1 contiene un esagono convex dell’area almeno 3/4.

Indicare che ogni esagono convexo di superficie $1$ contiene un esagono convexo di superficie non inferiore a $\frac{3}{4}$.

src_pol_2005_r3__Q06