Olimpiade Matematica Polacca 2006 — Round 1

Find nonnegative integers n with 2^n+105 a perfect square.

Determine all nonnegative integers $n$ for which $2^n+105$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri interi non negativi n con 2^n+105 un quadrato perfetto.

Determinare tutti gli integri non negativi $n$ per i quali $2^n+105$ è un quadrato perfetto.

src_pol_2006_r1__Q01

Solve sqrt[5]{x} = ceil(sqrt[5]{3x}) in nonnegative reals.

Solve the equation $\sqrt[5]{x}=\lceil \sqrt[5]{3x}\rceil$ in nonnegative real numbers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Solvi sqrt[5]{x} = soffitto(sqrt[5]{3x}) nei reali non negativi.

Risolvere l’equazione $\sqrt[5]{x}=\lceil \sqrt[5]{3x}\rceil$ in numeri reali non negativi.

src_pol_2006_r1__Q02

Acute triangle inscribed in circle center O; D projection of C onto AB, E,F projections of D onto AC,BC; prove area EOFC equals half area ABC.

An acute-angled triangle $ABC$ is inscribed in a circle with center $O$. Point $D$ is the projection of $C$ onto $AB$, and points $E$ and $F$ are the projections of the point $D$ onto $AC$ and $BC$, respectively. Prove that the area of quadrilateral $EOFC$ equals half the area of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto inserito nel centro del cerchio O; D proiezione di C su AB, E, F proiezioni di D su AC,BC; prova area EOFC pari a metà area ABC.

Un triangolo a angolo acuto $ABC$ è inserito in un cerchio con il centro $O$. Il punto $D$ è la proiezione di $C$ su $AB$, e i punti $E$ e $F$ sono le proiezioni del punto $D$ su $AC$ e $BC$, rispettivamente. Prove che l’area del quadrilaterale $EOFC$ è pari alla metà dell’area del triangolo $ABC$.

src_pol_2006_r1__Q03

Six problems each scored 6,5,2 or 0; for every two participants there are two problems on each of which they got different scores; find max participants.

The participants of a mathematical competition were solving six problems. Each problem was marked with 6, 5, 2 or 0 points. It turned out that for every two participants $A$ and $B$ there are two problems, such that on each of them $A$ and $B$ obtained different scores. Find the largest possible number of participants for which this is possible.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sei problemi hanno ottenuto ciascuno 6,5,2 o 0; per ogni due partecipanti ci sono due problemi su ciascuno dei quali hanno ottenuto punteggi diversi; trovare il massimo dei partecipanti.

I partecipanti a un concorso di matematica stavano risolvendo sei problemi. Ogni problema era segnato con 6, 5, 2 o 0 punti. Si è scoperto che per ogni due partecipanti $A$ e $B$ ci sono due problemi, in modo tale che su ciascuno di essi $A$ e $B$ si sono ottenuti punteggi diversi. Trovare il maggior numero possibile di partecipanti per i quali questo sia possibile.

src_pol_2006_r1__Q04

f(x)=ax+b|x|, g(x)=ax-b|x|; if f(f(x))=x for all x then prove g(g(x))=x for all x.

Let $a,b$ be real numbers. Consider the functions $f(x)=ax+b|x|$ and $g(x)=ax-b|x|$. Prove that if $f(f(x))=x$ for every $x\in \mathbb{R}$, then $g(g(x))=x$ for every $x\in \mathbb{R}$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

f(x) =ax+b) =x dizer, g(x-ax-b dizerx dizer; se f(f(x)) =x per tutte le x allora dimostrare g(g(x)) =x per tutte le x.

Lasciate che $a,b$ siano numeri reali. Considerate le funzioni $f(x)=ax+b|x|$ e $g(x)=ax-b|x|$. Prova che se $f(f(x))=x$ per ogni $x\in \mathbb{R}$, allora $g(g(x))=x$ per ogni $x\in \mathbb{R}$.

src_pol_2006_r1__Q05

Line through orthocenter H meets AC at D, BC at E; line through H perpendicular to DE meets AB at F; prove DH/HE = AF/FB.

A line passes through the orthocenter $H$ of an acute-angled triangle $ABC$ and meets the sides $AC$ and $BC$ at $D$ and $E$, respectively. The line through $H$ perpendicular to $DE$ intersects the line $AB$ at point $F$. Prove that $\frac{DH}{HE}=\frac{AF}{FB}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Linea attraversando l’ortocentro H incontra AC a D, BC a E; linea attraversando H perpendicolare a DE incontra AB a F; dimostra DH/HE = AF/FB.

Una linea attraversa l’ortocentro $H$ di un triangolo angolato acuto $ABC$ e incontra i lati $AC$ e $BC$ rispettivamente a $D$ e $E$. La linea attraverso $H$ perpendicolare a $DE$ incrocia la linea $AB$ al punto $F$. Prova che $\frac{DH}{HE}=\frac{AF}{FB}$.

src_pol_2006_r1__Q06

Prime p>3 and positive integers a,b,c with a+b+c=p+1 and p | a^3+b^3+c^3-1; show one of a,b,c equals 1.

A prime number $p>3$ and positive integers $a,b,c$ satisfy $a+b+c=p+1$ and the number $a^3+b^3+c^3-1$ is divisible by $p$. Show that at least one of the numbers $a,b,c$ is equal to $1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Primo p>3 e interi positivi a,b,c con a+b+c=p+1 e p ̊ a^3+b^3+c^3-1; mostrare uno di a,b,c è uguale a 1.

Un numero primo $p>3$ e un numero intero positivo $a,b,c$ soddisfano $a+b+c=p+1$ e il numero $a^3+b^3+c^3-1$ è divisibile da $p$. Indicare che almeno uno dei numeri $a,b,c$ è uguale a $1$.

src_pol_2006_r1__Q07

Tetrahedron ABCD circumscribed about unit sphere center S with SA>=SB>=SC; show SA>sqrt(5).

A tetrahedron $ABCD$ is circumscribed to a sphere with center $S$ and radius $1$ such that $SA\ge SB\ge SC$. Show that $SA>\sqrt{5}$.

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedro ABCD circoscritto intorno al centro della sfera unità S con SA>=SB>=SC; mostrare SA>sqrt(5).

Un tetraedro $ABCD$ è circoscritto a una sfera con centro $S$ e raggio $1$ tale che $SA\ge SB\ge SC$. Mostrare che $SA>\sqrt{5}$.

src_pol_2006_r1__Q08

k_1<…<k_m nonnegative integers, n=2^{k_1}+…+2^{k_m}; find number of odd coefficients of (x+1)^n.

Let $k_1<k_2<\cdots <k_m$ be nonnegative integers. Define $n=2^{k_1}+2^{k_2}+\cdots +2^{k_m}$. Find the number of odd coefficients of the polynomial $P(x)=(x+1{)}^n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

k_1<…<k_m numeri interi non negativi, n=2^{k_1}+…+2^{k_m}; trovare numero di coefficienti odd di (x+1)^n.

Lasciate che $k_1<k_2<\cdots <k_m$ siano numeri interi non negativi. Definire $n=2^{k_1}+2^{k_2}+\cdots +2^{k_m}$. Trova il numero dei coefficienti odd del polinomio $P(x)=(x+1{)}^n$.

src_pol_2006_r1__Q09

Positive a,b,c with ab+bc+ca=abc; prove a^3+b^3+c^3>=6abc.

Positive numbers $a,b,c$ satisfy the equality $ab+bc+ca=abc$. Prove that $a^3+b^3+c^3\ge 6abc$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Positivo a,b,c con ab+bc+ca=abc; prova a^3+b^3+c^3>=6abc.

I numeri positivi $a,b,c$ soddisfano l’uguaglianza $ab+bc+ca=abc$. Prove che $a^3+b^3+c^3\ge 6abc$.

src_pol_2006_r1__Q10

Concave quadrilateral ABCD with interior angle at A greater than 180 and ABCD=ADBC; P symmetric to A wrt BD; prove angle PCB=angle ACD.

In a concave quadrilateral $ABCD$ the interior angle at $A$ is greater than $180^{\circ }$ and $AB\cdot CD=AD\cdot BC$. Point $P$ is symmetric to $A$ with respect to $BD$. Prove that $\angle PCB=\angle ACD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale concavo con angolo interno superiore a A 180 e AB CD=ADBC; P simmetrico a A wrt BD; prova angolo PCB=angolo ACD.

In un quadrilaterale concavo $ABCD$ l’angolo interno a $A$ è maggiore di $180^{\circ }$ e $AB\cdot CD=AD\cdot BC$. Il punto $P$ è simmetrico a $A$ rispetto a $BD$. Dimostra che $\angle PCB=\angle ACD$.

src_pol_2006_r1__Q11

Sequence a_{i+1}=a_i/2 if even else 3a_i-1; if a_n=a_0 prove 2^n>a_0.

For a given positive integer $a_0$ define the sequence $(a_n)$ by $a_{i+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_i/2& \text{if }{a}_i\text{ is even,}\\ 3a_i-1& \text{if }{a}_i\text{ is odd,}\end{array}i=0,1,2,\dots$ Prove that if $n$ is a natural number such that $a_n=a_0$, then $2^n>a_0$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza a_{i+1}=a_i/2 se anche altrimenti 3a_i-1; se a_n=a_0 provare 2^n>a_0.

Per un dato numero intero positivo $a_0$ definire la sequenza $(a_n)$ da $a_{i+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_i/2& \text{if }{a}_i\text{ is even,}\\ 3a_i-1& \text{if }{a}_i\text{ is odd,}\end{array}i=0,1,2,\dots$ Prove che se $n$ è un numero naturale tale da $a_n=a_0$, allora $2^n>a_0$.

src_pol_2006_r1__Q12