Olimpiade Matematica Polacca 2006 — Round 2

Given positive integers a,b,c and reals x,y,z with |x-a|<=1, |y-b|<=1 and a^2+b^2=c^2, x^2+y^2=z^2, prove the sets {a,b} and {x,y} coincide.

Positive integers $a,b,c$ and $x,y,z$ satisfy $|x-a|\le 1$, $|y-b|\le 1$, and $a^2+b^2=c^2,x^2+y^2=z^2.$ Prove that the sets $\{a,b\}$ and $\{x,y\}$ coincide.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Dati i numeri interi positivi a,b,c e i numeri reali x,y,z con \x-a-a-a-a-a-a<=1, \y-b<=1 e a^2+b^2=c^2, x^2+y^2=z^2, dimostri che gli insiemi {a,b} e {x,y} coincidono.

I numeri interi positivi $a,b,c$ e $x,y,z$ soddisfano $|x-a|\le 1$, $|y-b|\le 1$ e $a^2+b^2=c^2,x^2+y^2=z^2.$ Prove che gli insiemi $\{a,b\}$ e $\{x,y\}$ coincidono.

src_pol_2006_r2__Q01

In triangle ABC with AC+BC=3AB, the incircle (center I) touches BC at D and AC at E; K, L are reflections of D, E in I. Prove A, B, K, L are concyclic.

In a triangle $ABC$ with $AC+BC=3AB$, the incircle is centered at $I$ and touches $BC$ at $D$ and $AC$ at $E$. Let $K$ and $L$ be the points symmetric to $D$ and $E$ with respect to $I$. Prove that the points $A,B,K,L$ lie on a circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo ABC con AC+BC=3AB, l’incircolo (centro I) tocca BC a D e AC a E; K, L sono riflessi di D, E a I. Provare che A, B, K, L sono conciclici.

In un triangolo $ABC$ con $AC+BC=3AB$, l’incircolo è centrato a $I$ e tocca $BC$ a $D$ e $AC$ a $E$. I punti $K$ e $L$ siano simetrici a $D$ e $E$ rispetto a $I$. Provare che i punti $A,B,K,L$ si trovano su un cerchio.

src_pol_2006_r2__Q02

For positive numbers a,b,c with ab+bc+ca=abc, prove a cyclic sum of fractions involving fourth powers is at least 1.

Positive numbers $a,b,c$ satisfy the condition $ab+bc+ca=abc$. Prove that $\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\ge 1.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per i numeri positivi a,b,c con ab+bc+ca=abc, dimostrare che la somma ciclica delle frazioni che coinvolgono quattro potenze è almeno 1.

I numeri positivi $a,b,c$ soddisfano la condizione $ab+bc+ca=abc$. Provare che $\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\ge 1.$

src_pol_2006_r2__Q03

For a natural number c, define a sequence by a_1=1 and a_{n+1}=d(a_n)+c, where d(m) is the number of positive divisors of m. Show there is k such that a_k, a_{k+1}, … is periodic.

Given a natural number $c$, we define the sequence $(a_n)$ by $a_1=1$ and $a_{n+1}=d(a_n)+c\text{for }n=1,2,\dots ,$ where $d(m)$ denotes the number of positive divisors of $m\in \mathbb{N}$. Show that there is a positive integer $k$ such that the sequence $a_k,a_{k+1},a_{k+2},\dots$ is periodic.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Ricorsione Abilita: Stima, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per un numero naturale c, definire una sequenza da a_1=1 e a_{n+1}=d(a_n) + c, dove d(m) è il numero di divisori positivi di m. Mostrare c’è k tale che a_k, a_{k+1}, … è periodico.

Dato un numero naturale $c$, definiamo la sequenza $(a_n)$ da $a_1=1$ e $a_{n+1}=d(a_n)+c\text{for }n=1,2,\dots ,$ dove $d(m)$ indica il numero di divisori positivi di $m\in \mathbb{N}$. Indicare che esiste un intero positivo $k$ tale che la sequenza $a_k,a_{k+1},a_{k+2},\dots$ sia periodica.

src_pol_2006_r2__Q04

C is the midpoint of segment AB. Circle o_1 through A and C meets circle o_2 through B and C again at D. P is the midpoint of arc AD of o_1 not containing C, Q the midpoint of arc BD of o_2 not containing C. Prove PQ is perpendicular to CD.

Let $C$ be the midpoint of a segment $AB$. A circle $o_1$ passing through $A$ and $C$ and a circle $o_2$ passing through $B$ and $C$ intersect in two different points $C$ and $D$. Point $P$ is the midpoint of the arc $AD$ of $o_1$ not containing $C$, and point $Q$ is the midpoint of the arc $BD$ of $o_2$ not containing $C$. Prove that $PQ$ is perpendicular to $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

C è il punto medio del segmento AB. Il cerchio o_1 tra A e C incontra il cerchio o_2 tra B e C di nuovo a D. P è il punto medio dell’arco AD di o_1 non contenente C, Q il punto medio dell’arco BD di o_2 non contenente C. Prova che la PQ è perpendicolare al CD.

Il segmento $C$ deve essere il punto medio di un segmento $AB$. Un cerchio $o_1$ che attraversa $A$ e $C$ e un cerchio $o_2$ che attraversa $B$ e $C$ si incrociano in due punti diversi $C$ e $D$. Il punto $P$ è il punto medio dell’arco $AD$ di $o_1$ che non contiene $C$, e il punto $Q$ è il punto medio dell’arco $BD$ di $o_2$ che non contiene $C$. Provare che $PQ$ è perpendicolare a $CD$.

src_pol_2006_r2__Q05

For a prime p and integer n with p>=n>=3, let A be a set of length-n sequences over {0,1,…,p-1} such that any two differ in at least three positions. Find the largest possible cardinality of A.

A prime number $p$ and an integer $n$ with $p\ge n\ge 3$ are given. Let $A$ be a set of sequences of length $n$ with terms in the set $\{0,1,2,\dots ,p-1\}$ has the following property: Any two sequences $(x_1,\dots ,x_n)$ and $(y_1,\dots ,y_n)$ from $A$ differ in at least three positions. Find the largest possible cardinality of $A$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Per un primo p e un intero n con p>=n>=3, A sia un insieme di sequenze di lunghezza-n su {0,1,…,p-1} in modo tale che due differano in almeno tre posizioni. Trova la più grande cardinalità possibile di A.

Un numero primo $p$ e un numero intero $n$ con $p\ge n\ge 3$ sono dati. Che $A$ sia un insieme di sequenze di lunghezza $n$ con termini nel insieme $\{0,1,2,\dots ,p-1\}$ ha la seguente proprietà: Eventuali due sequenze $(x_1,\dots ,x_n)$ e $(y_1,\dots ,y_n)$ da $A$ differiscono in almeno tre posizioni. Trova la più grande cardinalità possibile di $A$.

src_pol_2006_r2__Q06