Solve a cyclic system of five real equations relating squares to sums of two cubes.
Solve in real numbers the system of equations:
Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Risolvere un sistema ciclico di cinque equazioni reali che collegano i quadrati a somme di due cubi.
Risolvere in numeri reali il sistema di equazioni:
Find all positive integers k for which 3^k + 5^k is a perfect power with exponent greater than 1.
Find all positive integers for which the number is a power of an integer with the exponent greater than 1.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Ricerca tutti gli integri positivi k per i quali 3^k + 5^k è una potenza perfetta con esponente superiore a 1.
Trova tutti gli integri positivi per i quali il numero è una potenza di un intero con l’esponente maggiore di 1.
In a convex hexagon with three pairs of equal diagonals, prove the lines joining midpoints of opposite sides concur.
A convex hexagon with , , and is given. Prove that the lines joining the midpoints of opposite sides of this hexagon meet in a point.
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
In un esagono converso con tre coppie di diagonali uguali, dimostrare che le linee che uniscono i punti di mezzo di lati opposti sono in concorenza.
Si dà un esagono convexo con , e . Prove che le linee che uniscono i punti medi dei lati opposti di questo esagono si incontrano in un punto.
Given an operation replacing two numbers by their sum and product, decide if from (3,4,5) one can reach the sides of a right triangle.
The following operation is performed on a triple of numbers. Two of the numbers are chosen and replaced by their sum and product, while the third number is left unchanged. Decide whether, starting from the triple and performing finitely many such operations, we can obtain another triple of numbers which are the side lengths of a right triangle.
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Dato un’operazione che sostituisce due numeri con la loro somma e il loro prodotto, decidere se da (3,4,5) si può raggiungere i lati di un triangolo rettangolo.
La seguente operazione viene eseguita su un triplo di numeri. Due dei numeri vengono scelti e sostituiti dalla loro somma e dal loro prodotto, mentre il terzo numero resta invariato. Decidi se, partendo dal triplo e eseguendo finitamente molte di queste operazioni, possiamo ottenere un altro triplo di numeri che sono le lunghezze laterali di un triangolo rettangolo.
The inscribed sphere of a tetrahedron touches two faces at their centroids; prove the tetrahedron is regular.
The inscribed sphere of a tetrahedron with touches the faces and at and , respectively. Prove that if and are the centroids of the corresponding faces, then is a regular tetrahedron.
Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
La sfera incentrata di un tetraedro tocca due facce nei loro centriodi; dimostra che il tetraedro è regolare.
La sfera incentrata di un tetraedro con tocca rispettivamente le facce e a e . Prova che se e sono i centroidi delle facce corrispondenti, allora è un tetraedro regolare.
Find all integer pairs (a,b) for which (x^2+ax+b)P(x) can be a monic polynomial all of whose other coefficients are 1 or -1.
Find all pairs of integers for which there exists a polynomial with integer coefficients such that the product is a polynomial of the form where each of is equal to or .
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Trova tutte le coppie di numeri interi (a,b) per le quali (x^2+ax+b) P(x) può essere un polinomio monico i cui altri coefficienti sono tutti 1 o -1.
Trovare tutte le coppie di integri per le quali esiste un polinomio con coefficienti interi in modo tale che il prodotto sia un polinomio della forma dove ognuno di è uguale a o .