Olimpiade Matematica Polacca 2007 — Round 1

Find all real triples solving a symmetric quadratic system.

Find all triples $(x,y,z)$ of real numbers satisfying the equations $x^2+2yz+5x=2,$ $y^2+2zx+5y=2,$ $z^2+2xy+5z=2.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli reali risolvendo un sistema quadratico simmetrico.

Trova tutti i triples $(x,y,z)$ dei numeri reali che soddisfano le equazioni $x^2+2yz+5x=2,$ $y^2+2zx+5y=2,$ $z^2+2xy+5z=2.$

src_pol_2007_r1__Q01

Find positive integer pairs making both k^2+4m and m^2+5k perfect squares.

Find all pairs $(k,m)$ of positive integers for which $k^2+4m$ and $m^2+5k$ are both perfect squares.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca coppie di numeri interi positivi che rendano k^2+4m e m^2+5k quadrati perfetti.

Trova tutte le coppie $(k,m)$ di enti interi positivi per le quali $k^2+4m$ e $m^2+5k$ sono entrambi quadrati perfetti.

src_pol_2007_r1__Q02

In a convex quadrilateral with AB=CD that is not a parallelogram, the projections of AB and CD onto line MN (M,N midpoints of diagonals) both equal MN.

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $AB=CD$ which is not a parallelogram. Points $M$ and $N$ are the midpoints of diagonals $AC$ and $BD$ respectively. Prove that the orthogonal projections of segments $AB$ and $CD$ on the line $MN$ both have length equal to $MN$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un quadrilaterale convex con AB=CD che non è un parallelo, le proiezioni di AB e CD sulla linea MN (M,N punti di mezzo di diagonali) sono entrambe uguali a MN.

$ABCD$ sia un quadrilaterale convex con $AB=CD$ che non è un parallelo. I punti $M$ e $N$ sono i punti medi delle diagonali $AC$ e $BD$ rispettivamente. Prova che le proiezioni ortogonali dei segmenti $AB$ e $CD$ sulla linea $MN$ hanno entrambe lunghezza pari a $MN$.

src_pol_2007_r1__Q03

Determine the number of sequences of length n with terms in {0,…,9} such that among any three consecutive terms at least two are equal.

For every integer $n\ge 3$ determine the number of sequences $(c_1,c_2,\dots ,c_n)$ with terms in $S=\{0,1,2,\dots ,9\}$ which satisfy the following condition: For every three consecutive terms, at least two of them are equal.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Determina il numero di sequenze di lunghezza n con termini in {0,…,9} in modo tale che tra tutti i tre termini consecutivi almeno due siano uguali.

Per ogni numero intero $n\ge 3$ determinare il numero di sequenze $(c_1,c_2,\dots ,c_n)$ con termini in $S=\{0,1,2,\dots ,9\}$ che soddisfano la seguente condizione: per ogni tre termini consecutivi, almeno due di essi sono uguali.

src_pol_2007_r1__Q04

In an acute triangle with angle C = 45 degrees, circumcenter O and orthocenter H, the line through O perpendicular to CO meets AC and BC at K and L; prove OK+KH=OL+LH.

In an acute triangle $ABC$ the angle at $C$ is equal to $45^{\circ }$, $O$ is the circumcenter and $H$ the orthocenter. The line through $O$ perpendicular to $CO$ meets the lines $AC$ and $BC$ at $K$ and $L$, respectively. Prove that $OK+KH=OL+LH$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, skill_ragionamento_geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un triangolo acuto con angolo C = 45 gradi, il circondario O e l’ortocentro H, la linea attraverso O perpendicolare a CO incontra AC e BC a K e L; dimostrare OK+KH=OL+LH.

In un triangolo acuto $ABC$ l’angolo a $C$ è uguale a $45^{\circ }$, $O$ è il circondario e $H$ l’ortocentro. La linea attraverso $O$ perpendicolare a $CO$ incontra rispettivamente le linee $AC$ e $BC$ a $K$ e $L$. Prova che $OK+KH=OL+LH$.

src_pol_2007_r1__Q05

Prove a three-term reciprocal inequality bounded above by a symmetric AM-type expression.

Let $a,b,c$ be positive numbers. Prove the inequality $\frac{1}{a+ab+abc}+\frac{1}{b+bc+bca}+\frac{1}{c+ca+cab}\le \frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Dimostrare un’ineguaglianza reciproca a tre termini, dilimitata sopra da un’espressione simmetrica di tipo AM.

Lasciate che $a,b,c$ siano numeri positivi. Provare la disuguaglianza $\frac{1}{a+ab+abc}+\frac{1}{b+bc+bca}+\frac{1}{c+ca+cab}\le \frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).$

src_pol_2007_r1__Q06

In a tetrahedron ABCD, Q is the intersection of the bisector of angle ABC with AC and P is symmetric to D about Q; prove a triangle with sides RR’=BC/2 condition exists. (See warnings: parts of this problem are illegible.)

In a tetrahedron $ABCD$, $Q$ is the intersection point of the bisector of $\angle ABC$ with $AC$, and $P$ is the point symmetric to $D$ with respect to $Q$. Point $R$ on segment $AB$ is such that $R{R}^{\prime }=\frac{1}{2}BC$. Prove that there exists a triangle with side lengths equal to $BP$, $CD$, and $2QR$.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un tetraedro ABCD, Q è l’intersezione del bisettore dell’angolo ABC con AC e P è simmetrica a D circa Q; dimostra che esiste un triangolo con lati RR’=BC/2 condizione. (Vedi avvertenze: parti di questo problema sono illeggibili.)

In un tetraedro $ABCD$, $Q$ è il punto di intersezione del bisettore di $\angle ABC$ con $AC$, e $P$ è il punto simmetrico a $D$ rispetto a $Q$. Il punto $R$ sul segmento $AB$ è tale che $R{R}^{\prime }=\frac{1}{2}BC$. Prova che esiste un triangolo con lunghezze laterali uguali a $BP$, $CD$ e $2QR$.

src_pol_2007_r1__Q07

For a prime p, show there is a permutation of 1..p-1 whose partial products are all distinct modulo p.

Let $p$ be a prime number. Show that there exists a permutation $(x_1,x_2,\dots ,x_{p-1})$ of the numbers $1,2,\dots ,p-1$ such that the numbers $x_1,x_1{x}_2,x_1{x}_2{x}_3,\dots ,x_1{x}_2\cdots x_{p-1}$ are distinct modulo $p$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Biiezione Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per un primo p, mostrare che c’è una permutazione di 1..p-1 i cui prodotti parziali sono tutti modulo p distinto.

$p$ sia un numero primo. Indicare che esiste una permutazione $(x_1,x_2,\dots ,x_{p-1})$ dei numeri $1,2,\dots ,p-1$ tale che i numeri $x_1,x_1{x}_2,x_1{x}_2{x}_3,\dots ,x_1{x}_2\cdots x_{p-1}$ siano modulo $p$ distinto.

src_pol_2007_r1__Q08

With F(k) the product of all divisors of k, prove or disprove that two distinct naturals have equal F.

For a natural number $k$, denote by $F(k)$ the product of all divisors of $k$. Prove or disprove that there exist two different numbers $m,n\in \mathbb{N}$ with $F(m)=F(n)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Con F(k) il prodotto di tutti i divisori di k, dimostrare o respingere che due naturali distinti hanno F uguale.

Per un numero naturale $k$, indicare con $F(k)$ il prodotto di tutti i divisori di $k$. Prova o nega che esistono due numeri diversi $m,n\in \mathbb{N}$ con $F(m)=F(n)$.

src_pol_2007_r1__Q09

In an acute triangle, two chains of perpendicular feet on the sides give triangles PQR and STU; prove they are congruent.

Let $ABC$ be an acute triangle. Points $P$ and $U$ are on segment $BC$, $Q$ and $S$ on segment $CA$, and $R$ and $T$ on segment $AB$, such that $PR\perp BC,QP\perp CA,RQ\perp AB,US\perp BC,ST\perp CA,TU\perp AB.$ Prove that the triangles $PQR$ and $STU$ are congruent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un triangolo acuto, due catene di piedi perpendicolari sui lati danno i triangoli PQR e STU; dimostrano che sono congruenti.

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo acuto. I punti $P$ e $U$ sono sul segmento $BC$, $Q$ e $S$ sul segmento $CA$, e $R$ e $T$ sul segmento $AB$, in modo tale che $PR\perp BC,QP\perp CA,RQ\perp AB,US\perp BC,ST\perp CA,TU\perp AB.$ dimostri che i triangoli $PQR$ e $STU$ sono congruenti.

src_pol_2007_r1__Q10

Count permutations of {1,…,6n-1} satisfying two index-difference monotonicity conditions.

For each natural number $n$ find the number of permutations $(x_1,x_2,\dots ,x_{6n-1})$ of the set $\{1,2,\dots ,6n-1\}$ with the following properties:

(i) If $i-j=2n+1$, then $x_i>x_j$;

(ii) If $i-j=4n$, then $x_i<x_j$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi permutazioni di {1,…,6n-1} che soddisfano due condizioni di monotonicità a differenza di indice.

Per ogni numero naturale $n$ si trova il numero di permutazioni $(x_1,x_2,\dots ,x_{6n-1})$ dell’insieme $\{1,2,\dots ,6n-1\}$ con le seguenti proprietà:

(i) Se $i-j=2n+1$, allora $x_i>x_j$;

(ii) Se $i-j=4n$, allora $x_i<x_j$.

src_pol_2007_r1__Q11

Express a polynomial positive on [a,b] as P^2 plus (x-a)(b-x) times a sum of squares.

A polynomial $W$ with real coefficients takes only positive values on the segment $[a,b]$ ($a<b$). Show that there exist polynomials $P$ and $Q_1,Q_2,\dots ,Q_m$ such that $W(x)=P(x{)}^2+(x-a)(b-x){\sum }_{i=1}^m{Q}_i(x{)}^2\text{for all real }x.$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esprimere un polinomio positivo su [a,b] come P^2 più (x-a)(b-x) volte la somma dei quadrati.

Un polinomio $W$ con coefficienti reali assume solo valori positivi sul segmento $[a,b]$ ($a<b$). Mostrare che esistono polinomi $P$ e $Q_1,Q_2,\dots ,Q_m$ in modo tale che $W(x)=P(x{)}^2+(x-a)(b-x){\sum }_{i=1}^m{Q}_i(x{)}^2\text{for all real }x.$

src_pol_2007_r1__Q12