Olimpiade Matematica Polacca 2007 — Round 2

Common zero of P(x) and P(P(x)) implies a common integer zero.

A polynomial $P(x)$ has integer coefficients. Prove that if the polynomials $P(x)$ and $P(P(x))$ have a common zero, then they also have a common integer zero.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Zero comune di P(x) e P(P(x)) implica un numero intero comune zero.

Un polinomio $P(x)$ ha coefficienti interi. Prova che se i polinomi $P(x)$ e $P(P(x))$ hanno uno zero comune, allora hanno anche uno zero intero comune.

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In a convex pentagon with given equalities and right angles, prove three segments form a triangle and find its angles given two angles.

Consider a convex pentagon $ABCDE$ with $BC=CD$, $DE=EA$ and $\angle BCD=\angle DEA=90^{\circ }$. Prove that $AC,CE$ and $EB$ are sides of a triangle and find the angles of this triangle, knowing that $\angle ACE=\alpha$ and $\angle BEC=\beta$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un pentagono convexo con le due uguali e gli angoli rettangolari dati, dimostrare che tre segmenti formano un triangolo e trovare i suoi angoli dati due angoli.

Considera un pentagono convex $ABCDE$ con $BC=CD$, $DE=EA$ e $\angle BCD=\angle DEA=90^{\circ }$. Prova che $AC,CE$ e $EB$ sono lati di un triangolo e trova gli angoli di questo triangolo, sapendo che $\angle ACE=\alpha$ e $\angle BEC=\beta$.

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Equilateral triangle tiled by n^2 small triangles with two-colored faces; determine for which n an initial position allows infinitely many moves.

An equilateral triangle of side $n$ is composed of $n^2$ equilateral triangular tiles of side $1$. Each tile has one side white and the other side black. An allowed move is as follows: Choose a tile $P$ having a common side with at least two other tiles whose top face is of different color than that of $P$; then turn $P$ over. For each $n\ge 2$ determine whether there is an initial position permitting infinitely many such moves.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Colorazione Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Triangolo equalaterale di n^2 piccoli triangoli con facce a due colori; determinare per quale n una posizione iniziale consente infiniti movimenti.

Un triangolo equilaterale di lato $n$ è composto da piastrelle triangolari equilaterali di lato $n^2$. Ogni piastrella ha un lato bianco e l’altro nero. Una mossa consentita è la seguente: scegliere una piastrella $P$ che abbia un lato comune con almeno altre due piastrelle la cui faccia superiore è di colore diverso da quello di $P$; poi girare $P$. Per ciascuna $n\ge 2$ determinare se esiste una posizione iniziale che consente infinite mosse di questo tipo.

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If positive integers a,b,c,d satisfy ad=b^2+bc+c^2, then a^2+b^2+c^2+d^2 is composite.

Prove that if $a,b,c,d$ are positive integers satisfying $ad=b^2+bc+c^2$, then the number $a^2+b^2+c^2+d^2$ is composite.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Se i numeri interi positivi a,b,c,d soddisfano ad=b^2+bc+c^2, allora a^2+b^2+c^2+d^2 è composto.

Prova che se $a,b,c,d$ sono numeri interi positivi che soddisfano $ad=b^2+bc+c^2$, il numero $a^2+b^2+c^2+d^2$ è composto.

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Cyclic quadrilateral with AB != CD; two rhombi of side a built on it; prove four vertices are concyclic.

A convex quadrilateral $ABCD$ with $AB\ne CD$ is inscribed in a circle. Let $AKDL$ and $CMBN$ be rhombuses with side length $a$. Prove that the points $K,L,M,N$ lie on a circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero ciclico con AB != CD; due rombini di lato a costruiti su di esso; dimostrare che quattro vertici sono conciclici.

Un quadrilaterale convex $ABCD$ con $AB\ne CD$ è inserito in un cerchio. Le $AKDL$ e $CMBN$ siano rombole con lunghezza laterale $a$. Prova che i punti $K,L,M,N$ si trovano su un cerchio.

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For positive a,b,c,d with reciprocals summing to 4, prove a sum of cube-root terms is at most 2(a+b+c+d)-4.

Positive numbers $a,b,c,d$ satisfy $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$. Prove that $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}}\le 2(a+b+c+d)-4.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per i valori positivi a,b,c,d con ripercussioni sommate a 4, provare che la somma dei termini di radice cubica è al massimo 2(a+b+c+d)-4.

I numeri positivi $a,b,c,d$ soddisfano $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$. Provare che $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}}\le 2(a+b+c+d)-4.$

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