Olimpiade Matematica Polacca 2007 — Round 3

Acute triangle with circumcenter and altitude; prove a ratio equality involving perpendicular foot intersections.

In an acute-angled triangle $ABC$ point $O$ is the circumcenter, $CD$ is the altitude, $E$ a point on side $AB$, and $M$ the midpoint of $CE$. The perpendicular to $OM$ at $M$ intersects the lines $AC$ and $BC$ at $K$ and $L$ respectively. Prove that $\frac{LM}{MK}=\frac{AD}{DB}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con circoncentro e altitudine; dimostrare un rapporto di uguaglianza che coinvolge intersezioni perpendicolari del piede.

In un triangolo acuto $ABC$ il punto $O$ è il centro circostante, $CD$ è l’altitudine, $E$ un punto laterale $AB$ e $M$ il punto medio di $CE$. La perpendicolare a $OM$ a $M$ incrocia rispettivamente le linee $AC$ e $BC$ a $K$ e $L$. Prove che $\frac{LM}{MK}=\frac{AD}{DB}$.

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White/black positive integers defined by parity of prime factor count; existence of integer with equal sums of white and black divisors.

A positive integer is said to be $white$ if it is equal to 1 or to a product of an even number of (not necessarily distinct) prime factors. Other positive integers are called $black$. Does there exist a positive integer whose sum of white divisors equals the sum of black divisors?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

insieri positivi bianchi/neri definiti con parità del numero di fattori primi; esistenza di numeri interi con somma uguale di divisori bianchi e neri.

Si dice che un intero positivo sia $white$ se è uguale a 1 o a un prodotto di un numero pari di fattori primi (non necessariamente distinti). Altri integri positivi sono denominati $black$. Esiste un numero intero positivo la cui somma dei divisori bianchi è uguale alla somma dei divisori neri?

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Plane divided into unit squares filled with a bijection from positive integers; decide if each number can divide the sum of its four neighbors.

A plane is divided into unit squares. A positive integer should be written in each unit square so that each positive integer occurs exactly once. Decide whether this can be done in such a way that the number in each square divides the sum of the numbers in the four neighboring squares.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Plano diviso in quadrati unitari riempiti di una biiezione da numeri interi positivi; decidere se ogni numero può dividere la somma dei suoi quattro vicini.

Un piano è diviso in unità quadrate. Un intero positivo deve essere scritto in ogni quadrato unitario in modo che ogni intero positivo si verifichi esattamente una volta. Decidi se questo può essere fatto in modo tale che il numero in ogni quadrato divida la somma dei numeri nei quattro quadrati vicini.

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Count the number of possible values of the product km for integers with n^2 <= k <= m <= (n+1)^2.

Given an integer $n\ge 1$, find the number of possible values of the product $km$, where $k$ and $m$ are integers with $n^2\le k\le m\le (n+1{)}^2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare il numero dei valori possibili del prodotto km per i numeri interi con n^2 <= k <= m <= (n+1)^2.

Date un numero intero $n\ge 1$, trovare il numero dei valori possibili del prodotto $km$, dove $k$ e $m$ sono numeri interi con $n^2\le k\le m\le (n+1{)}^2$.

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Tetrahedron with two equalities of summed face angles; prove circumsphere center lies on the line through midpoints of AB and CD.

A tetrahedron $ABCD$ is such that $\angle BAC+\angle BDC=\angle ABD+\angle ACD,$ $\angle BAD+\angle BCD=\angle ABC+\angle ADC.$ Prove that the center of the circumscribed sphere of the tetrahedron lies on the line passing through the midpoints of $AB$ and $CD$.

Topic: Geometria solida Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tetraedro con due ugualità di angoli facciali sommati; prova che il centro della circumsfera si trova sulla linea attraverso i punti di mezzo di AB e CD.

Un tetraedro $ABCD$ è tale che $\angle BAC+\angle BDC=\angle ABD+\angle ACD,$ $\angle BAD+\angle BCD=\angle ABC+\angle ADC.$ dimostri che il centro della sfera circoscritta del tetraedro si trova sulla linea che attraversa i punti medi di $AB$ e $CD$.

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Recursively defined real sequence via a weighted sum equation starting at a0=-1; prove all later terms positive.

The sequence of real numbers $a_0,a_1,a_2,\dots$ is defined by $a_0=-1$ and $a_n+\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{a_{n-2}}{3}+\cdots +\frac{a_1}{n}+\frac{a_0}{n+1}=0\text{for }n\ge 1.$ Show that $a_n>0$ for $n\ge 1$.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza reale definita ricursivamente attraverso un’equazione di somma ponderata a partire da a0=-1; dimostrare tutti i termini successivi positivi.

La sequenza dei numeri reali $a_0,a_1,a_2,\dots$ è definita da $a_0=-1$ e $a_n+\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{a_{n-2}}{3}+\cdots +\frac{a_1}{n}+\frac{a_0}{n+1}=0\text{for }n\ge 1.$ Mostra che $a_n>0$ per $n\ge 1$.

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