Olimpiade Matematica Polacca 2008 — Round 1

Solve a symmetric system of three cubic equations in real numbers x,y,z.

Solve in real numbers $x,y,z$ the system of equations $\{\begin{array}{l}{x}^3=5y^3-4z\\ y^3=5z^3-4x\\ z^3=5x^3-4y\end{array}$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Risolvere un sistema simmetrico di tre equazioni cubiche in numeri reali x,y,z.*

Risolvere in numeri reali $x,y,z$ il sistema di equazioni $\{\begin{array}{l}{x}^3=5y^3-4z\\ y^3=5z^3-4x\\ z^3=5x^3-4y\end{array}$

src_pol_2008_r1__Q01

Inside a convex angle with vertex P and a given point A, points X,Y on the rays with PX=PY minimize AX+AY; prove angle XAP = angle YAP.

Inside a convex angle with vertex $P$ is given a point $A$. Points $X$ and $Y$ lie on different rays of the angle so that $PX=PY$ and the sum $AX+AY$ is minimal. Prove that $\angle XAP=\angle YAP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

All’interno di un angolo convexo con vertice P e un dato punto A, punti X, Y sui raggi con PX=PY ridurre al minimo AX+AY; dimostrare angolo XAP = angolo YAP.

All’interno di un angolo convexo con vertice $P$ è dato un punto $A$. I punti $X$ e $Y$ si trovano su diversi raggi dell’angolo in modo che $PX=PY$ e la somma $AX+AY$ siano minimi. Prove che $\angle XAP=\angle YAP$.

src_pol_2008_r1__Q02

For the integer sequence a_1=1, a_2=2, a_n=3a_{n-1}+5a_{n-2}, decide if some k>=2 divides every a_n.

A sequence $(a_n)$ of integers is defined by $a_1=1$, $a_2=2$ and $a_n=3a_{n-1}+5a_{n-2}\text{for }n=3,4,5,\dots .$ Does there exist an integer $k\ge 2$ for which $k$ divides $a_n$ for all $n=1,2,\dots$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per la sequenza di numeri interi a_1=1, a_2=2, a_n=3a_{n-1}+5a_{n-2}, decidere se qualche k>=2 divide ogni a_n.

Una sequenza $(a_n)$ di numeri interi è definita da $a_1=1$, $a_2=2$ e $a_n=3a_{n-1}+5a_{n-2}\text{for }n=3,4,5,\dots .$ Esiste un numero intero $k\ge 2$ per il quale $k$ divide $a_n$ per tutti $n=1,2,\dots$?

src_pol_2008_r1__Q03

Given the alternating weight w(A) of nonempty subsets of {1,…,n}, find the sum of w(A) over all 2^n-1 subsets.

Let $n\ge 1$ be a given integer. For each nonempty subset $A$ of $\{1,2,\dots ,n\}$ define the number $w(A)$ as follows: If $a_1>a_2>\cdots >a_k$ are the elements of $A$, then $w(A)=a_1-a_2+a_3-\cdots +(-1{)}^{k+1}{a}_k$. Find the sum of the numbers $w(A)$ over all $2^n-1$ possible subsets $A$.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Dato il peso alternativo w(A) dei sottoinsiemi non vuoti di {1,…,n}, si trova la somma di w(A) su tutti i sottoinsiemi 2^n-1.

$n\ge 1$ sia un dato numero intero. Per ogni sottoinsieme non vuoto $A$ di $\{1,2,\dots ,n\}$ definire il numero $w(A)$ come segue: se $a_1>a_2>\cdots >a_k$ sono gli elementi di $A$, allora $w(A)=a_1-a_2+a_3-\cdots +(-1{)}^{k+1}{a}_k$. Trova la somma dei numeri $w(A)$ su tutti i possibili sottogruppi $2^n-1$ $A$.

src_pol_2008_r1__Q04

Find all prime triples (p,q,r) for which pq+qr+rp and p^3+q^3+r^3-2pqr are divisible by p+q+r.

Find all triples $(p,q,r)$ of prime numbers for which $pq+qr+rp\text{and}{p}^3+q^3+r^3-2pqr$ are divisible by $p+q+r$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli primi (p,q,r) per i quali pq+qr+rp e p^3+q^3+r^3-2pqr sono divisibili da p+q+r.

Trova tutti i triples $(p,q,r)$ dei numeri primi per i quali $pq+qr+rp\text{and}{p}^3+q^3+r^3-2pqr$ sono divisibili da $p+q+r$.

src_pol_2008_r1__Q05

Find all real-coefficient polynomials W(x) with W(x^2)W(x^3) = W(x)^5 for all real x.

Find all polynomials $W(x)$ with real coefficients such that $W(x^2)W(x^3)=W(x{)}^5$ holds for every real number $x$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i polinomi di coefficiente reale W(x) con W(x^2) W(x^3) = W(x)^5 per tutti gli x reali.

Trovare tutti i polinomi $W(x)$ con coefficienti reali in modo tale che $W(x^2)W(x^3)=W(x{)}^5$ sia valido per ogni numero reale $x$.

src_pol_2008_r1__Q06

In a company of 2^n-1 people, each subset elects a leader (a member outside it); prove a global choice exists and count the choices.

In a set of $n$ people, $2^n-1$ companies are formed (a company is a nonempty subset of the people). Each company should elect a leader, according to the following rule: If a company $C$ is the union $A\cup B$ of two companies $A$ and $B$, then the leader of $C$ is also the leader of at least one of the companies $A$ and $B$. Find the number of possible choices of leaders.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

In una società di 2^n-1 persone, ogni sottoinsieme sceglie un leader (un membro al di fuori di esso); dimostra l’esistenza di una scelta globale e conta le scelte.

In un insieme di persone $n$ si formano società $2^n-1$ (una società è un sottoinsieme non vuoto di persone). Ogni società deve scegliere un leader secondo la seguente regola: se una società $C$ è l’unione $A\cup B$ di due società $A$ e $B$, allora il leader di $C$ è anche il leader di almeno una delle società $A$ e $B$. Trova il numero di possibili scelte di leader.

src_pol_2008_r1__Q07

A sphere inscribed in pyramid SABCD (convex quad base) touches the base at P; prove angle APB + angle CPD = 180 degrees.

The base of a pyramid $SABCD$ is a convex quadrilateral $ABCD$. A sphere is inscribed in the pyramid and touches the base $ABCD$ at point $P$. Prove that $\angle APB+\angle CPD=180^{\circ }$.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Una sfera scritta nella piramide SABCD (base quadre convexa) tocca la base a P; prova angolo APB + angolo CPD = 180 gradi.

La base di una piramide $SABCD$ è un quadrilaterale converso $ABCD$. Una sfera è inserita nella piramide e tocca la base $ABCD$ al punto $P$. Prove che $\angle APB+\angle CPD=180^{\circ }$.

src_pol_2008_r1__Q08

Find the smallest a such that for all reals x,y,z >= a with x+y+z=3, x^3+y^3+z^3 >= 3.

Determine the smallest number $a$ having the following property: For any real numbers $x,y,z\ge a$ satisfying $x+y+z=3$, it holds that $x^3+y^3+z^3\ge 3$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova la più piccola a tale che per tutti i valori reali x,y,z >= a con x+y+z=3, x^3+y^3+z^3 >=3.

Determinare il numero più piccolo $a$ che abbia la seguente proprietà: per tutti i numeri reali $x,y,z\ge a$ che soddisfano $x+y+z=3$, esso detiene $x^3+y^3+z^3\ge 3$.

src_pol_2008_r1__Q09

Prime p; sequence a_{n+1}=a_n+pfloor(p-th root of a_n); show some term is a p-th power of an integer.*

A prime number $p$ is given. A sequence of positive integers $a_1,a_2,\dots$ satisfies the relation $a_{n+1}=a_n+p\lfloor \sqrt[p]{a_n}\rfloor \text{for }n=1,2,3\dots$ Show that there is a term in this sequence which is the $p$-th power of an integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Primo p; sequenza a_{n+1}=a_n+pfloor(p-th radice di a_n); mostrare qualche termine è una p-th potenza di un intero.*

Si dà un numero primo $p$. Una sequenza di interi positivi $a_1,a_2,\dots$ soddisfa la relazione $a_{n+1}=a_n+p\lfloor \sqrt[p]{a_n}\rfloor \text{for }n=1,2,3\dots$ Mostra che c’è un termine in questa sequenza che è la potenza $p$- di un intero.

src_pol_2008_r1__Q10

Seven points on the sides of triangle ABC with a chain of equal 60-degree angles; prove P1 coincides with P7.

Points $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6,P_7$ respectively lie on the sides $BC$, $CA$, $AB$, $BC$, $CA$, $AB$, $BC$ respectively of a triangle $ABC$, and satisfy $\angle P_1{P}_{2}C=\angle A{P}_2{P}_3=\angle P_3{P}_{4}B=\angle C{P}_4{P}_5=\angle P_5{P}_{6}A=\angle B{P}_6{P}_7=60^{\circ }.$ Prove that $P_1\equiv P_7$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Sette punti sui lati del triangolo ABC con una catena di angoli uguali di 60 gradi; dimostrare che P1 coincide con P7. *

I punti $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6,P_7$ si trovano rispettivamente sui lati $BC$, $CA$, $AB$, $BC$, $CA$, $AB$, $BC$ di un triangolo $ABC$ e soddisfano $\angle P_1{P}_{2}C=\angle A{P}_2{P}_3=\angle P_3{P}_{4}B=\angle C{P}_4{P}_5=\angle P_5{P}_{6}A=\angle B{P}_6{P}_7=60^{\circ }.$ Prove che $P_1\equiv P_7$.

src_pol_2008_r1__Q11

Given integer m>=2, find the smallest n>=m so that every 2-coloring of {m,…,n} yields a monochromatic a,b,c with ab=c.

Let be given an integer $m\ge 2$. Find the smallest integer $n\ge m$ with the property that, for every partition of the set $\{m,m+1,\dots ,n\}$ into two subsets, one of the subsets contains three numbers $a,b,c$ (not necessarily distinct) with $ab=c$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Colorazione, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dato il numero intero m>=2, trovare il più piccolo n>=m in modo che ogni 2 colorazioni di {m,…,n} producano un monocromatico a,b,c con ab=c.

Si deve dare un numero intero $m\ge 2$. Trovare il numero intero più piccolo $n\ge m$ con la proprietà che, per ogni partizione del set $\{m,m+1,\dots ,n\}$ in due sottoinsiemi, uno dei sottoinsiemi contiene tre numeri $a,b,c$ (non necessariamente distinti) con $ab=c$.

src_pol_2008_r1__Q12