Olimpiade Matematica Polacca 2008 — Round 2

Largest length of a sequence of consecutive integers all of the form x^3+2y^2.

Find the largest possible length of a sequence of consecutive integers which are all expressible in the form $x^3+2y^2$ for some integers $x,y$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Lunghezza maggiore di una sequenza di numeri interi consecutivi di forma totale x^3+2y^2.

Trova la lunghezza più grande possibile di una sequenza di numeri interi consecutivi che sono tutti espressi nella forma $x^3+2y^2$ per alcuni numeri interi $x,y$.

src_pol_2008_r2__Q01

Convex pentagon with equal-angle conditions; prove AS perpendicular to CD where S is the intersection of diagonals BD and CE.

A convex pentagon $ABCDE$ is such that $\angle ABD=\angle ACE$, $\angle ACB=\angle ACD$, $\angle ADC=\angle ADE$, and $\angle ADB=\angle AEC$. The diagonals $BD$ and $CE$ intersect at $S$. Prove that $AS$ is perpendicular to $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Pentagono converso con condizioni di angolo uguale; dimostrare AS perpendicolare a CD dove S è l’intersezione delle diagonali BD e CE.

Un pentagono convexo $ABCDE$ è tale che $\angle ABD=\angle ACE$, $\angle ACB=\angle ACD$, $\angle ADC=\angle ADE$ e $\angle ADB=\angle AEC$. Le diagonali $BD$ e $CE$ si intersecano a $S$. Prova che $AS$ è perpendicolare a $CD$.

src_pol_2008_r2__Q02

Find all functions f: R->R satisfying a functional equation.

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ which satisfy $f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x\text{for all real }x,y.$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le funzioni f: R->R che soddisfano un’equazione funzionale.

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che soddisfano $f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x\text{for all real }x,y.$

src_pol_2008_r2__Q03

On an n x n board of integers summing to 0, a move decreases a square by its number of neighbors and increases each neighbor by 1; decide if some n>=2 always allows zeroing all entries.

In every square of an $n\times n$ board there is an integer such that the sum of all integers in the board is $0$. A move consists of choosing a square and decreasing the number in it by the number of neighboring squares (by side), while increasing the numbers in each of the neighboring squares by $1$. Determine if there is an $n\ge 2$ for which we can always turn all the integers into zeros in finitely many moves.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Su una scheda di n x n di numeri interi che sommano a 0, una mossa riduce un quadrato del suo numero di vicini e aumenta ogni vicino di 1; decidere se qualche n>=2 permette sempre di zerizzare tutte le voci.

In ogni quadrato di una tabella $n\times n$ c’è un intero tale che la somma di tutti gli enti nella tabella è $0$. Una mossa consiste nel scegliere un quadrato e diminuire il numero in esso per il numero di quadrati vicini (al fianco), aumentando al contempo i numeri in ciascuno dei quadrati vicini di $1$. Determina se c’è un $n\ge 2$ per il quale possiamo sempre trasformare tutti i numeri interi in zero in finite mosse.

src_pol_2008_r2__Q04

Triangle ABC with AC=BC, point D on AB with AD<DB, E reflection of A in CD; prove a ratio identity.

In a triangle $ABC$ with $AC=BC$, point $D$ on the side $AB$ is such that $AD<DB$ and $E$ is the reflection of $A$ in $CD$. Prove that $\frac{AC}{CD}=\frac{BE}{BD-AD}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con AC=BC, punto D su AB con AD<DB, E riflessione di A in CD; dimostrare l’identità del rapporto.

In un triangolo $ABC$ con $AC=BC$, il punto $D$ sul lato $AB$ è tale che $AD<DB$ e $E$ siano il riflesso di $A$ in $CD$. Provare che $\frac{AC}{CD}=\frac{BE}{BD-AD}.$

src_pol_2008_r2__Q05

For n not divisible by 3, show there is a positive integer m such that every integer >= m is the digit sum of some multiple of n.

If $n$ is a positive integer not divisible by $3$, show that there exists a positive integer $m$ such that every integer not smaller than $m$ is the sum of digits of some multiple of $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Congruenze, Principio dei cassetti Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Per n non divisibile per 3, mostrare che c’è un intero positivo m tale che ogni intero >= m è la somma digitali di qualche moltiplo di n.

Se $n$ è un intero positivo non divisibile da $3$, indicare che esiste un intero positivo $m$ in modo tale che ogni intero non inferiore a $m$ sia la somma di cifre di qualche multiplo di $n$.

src_pol_2008_r2__Q06