Olimpiade Matematica Polacca 2008 — Round 3

Prove a lower bound for a weighted sum of inverses given a special arrangement of 1..n^2 on an n×n board with one chosen cell per row and column.

The numbers $1,2,\dots ,n^2$ are arranged in the cells of an $n\times n$ board in such a way that the numbers $1,\dots ,n$ are in the first row (in this order), $n+1,\dots ,2n$ in the second, etc. We choose $n$ cells of the board, no two of which are in the same row or column. Let $a_i$ be the chosen number in the $i$-th row. Prove that $\frac{1^2}{a_1}+\frac{2^2}{a_2}+\cdots +\frac{n^2}{a_n}\ge \frac{n+2}{2}-\frac{1}{n^2+1}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove un limite inferiore per una somma ponderata di inversi data una disposizione speciale di 1..n^2 su una scheda n ×n con una cella scelta per riga e colonna.

I numeri $1,2,\dots ,n^2$ sono disposti nelle celle di una tabella $n\times n$ in modo tale che i numeri $1,\dots ,n$ siano nella prima riga (in questo ordine), $n+1,\dots ,2n$ nella seconda, ecc. Scegliamo le celle $n$ della scheda, nessuna delle quali è nella stessa riga o colonna. Il numero $a_i$ deve essere il numero scelto nella riga $i$. Provare che $\frac{1^2}{a_1}+\frac{2^2}{a_2}+\cdots +\frac{n^2}{a_n}\ge \frac{n+2}{2}-\frac{1}{n^2+1}.$

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A symmetric three-variable functional equation summing cyclically over five variables to their sum; prove the analogous cyclic identity for any n>=5 reals.

A function $f$ in three real variables satisfies for any $a,b,c,d,e$ the equality $f(a,b,c)+f(b,c,d)+f(c,d,e)+f(d,e,a)+f(e,a,b)=a+b+c+d+e.$ Prove that for any real numbers $x_1,\dots ,x_n$ ($n\ge 5$) it holds that $f(x_1,x_2,x_3)+f(x_2,x_3,x_4)+\cdots +f(x_n,x_1,x_2)=x_1+x_2+\cdots +x_n.$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Simmetria, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Un’equazione funzionale simmetrica a tre variabili che somma ciclicamente oltre cinque variabili alla loro somma; dimostrare l’identità ciclica analoga per qualsiasi n>=5 reali.

Una funzione $f$ in tre variabili reali soddisfa per qualsiasi $a,b,c,d,e$ l’uguaglianza $f(a,b,c)+f(b,c,d)+f(c,d,e)+f(d,e,a)+f(e,a,b)=a+b+c+d+e.$ Prove che per qualsiasi numero reale $x_1,\dots ,x_n$ ($n\ge 5$) si ritiene che $f(x_1,x_2,x_3)+f(x_2,x_3,x_4)+\cdots +f(x_n,x_1,x_2)=x_1+x_2+\cdots +x_n.$

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In a convex pentagon ABCDE with given equal side and angle conditions, prove that BCDE is a parallelogram.

A convex pentagon $ABCDE$ is such that $BC=DE$, $\angle ABE=\angle CAB=\angle AED-90^{\circ }$ and $\angle ACB=\angle ADE$. Prove that $BCDE$ is a parallelogram.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un ABCDE pentagonale convexo con condizioni di lato e angolo uguali, dimostrare che BCDE è un parallelo.

Un pentagono convexo $ABCDE$ è tale che $BC=DE$, $\angle ABE=\angle CAB=\angle AED-90^{\circ }$ e $\angle ACB=\angle ADE$. Provare che $BCDE$ è un parallelo.

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Plane points with integer coordinates are 2-colored; show there is an infinite, centrally symmetric monochromatic subset.

Each point of a plane with integer coordinates is painted in white or black. Show that there exists an infinite and centrally symmetric subset of colored points whose points are of the same color.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Colorazione, Principio dei cassetti Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

I punti di piano con le coordinate dei numeri interi sono di 2 colori; mostrano l’esistenza di un sottogruppo monocromatico infinito, centralmente simmetrico.

Ogni punto di un piano con coordinate interi è dipinto in bianco o nero. Mostrare che esiste un sottogruppo infinito e centralmente simmetrico di punti colorati i cui punti sono dello stesso colore.

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If all sections of a parallelepiped through the midpoints of three pairwise disjoint non-parallel edges have equal area, prove it is a cuboid.

The areas of all sections of a parallelepiped $\mathcal{R}$ by planes, passing through the midpoints of three pairwise disjoint and non-parallel edges, are equal. Show that $\mathcal{R}$ is a cuboid.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Se tutte le sezioni di un parallelepiped attraverso i punti medi di tre bordi non paralleli disgiunti in coppia hanno una superficie uguale, dimostrare che è un cuboide.

Le superfici di tutte le sezioni di un parallelepiped $\mathcal{R}$ per piano, che attraversano i punti medi di tre bordi disgiunti e non paralleli in coppia, sono uguali. Indicare che $\mathcal{R}$ è un cuboide.

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For S = integers of the form a^2+5b^2 with coprime a,b, and a prime p≡3 mod 4: if some multiple of p is in S, prove 2p is in S.

Let $S$ be the set of positive integers which can be written in the form $a^2+5b^2$ for some co-prime integers $a$ and $b$. Let $p$ be a prime congruent to $3$ modulo $4$. Prove that if some integral multiple of $p$ belongs to $S$, then $2p$ belongs to $S$ as well.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per S = integri della forma a^2+5b^2 con coprimo a,b, e un primo p3 mod 4: se qualche multiplo di p è in S, dimostra che 2p è in S.

$S$ sia l’insieme di integri positivi che possono essere scritti nella forma $a^2+5b^2$ per alcuni integri co-prime $a$ e $b$. Il modulo $p$ deve essere un primo congruente a $3$ modulo $4$. Prove che se qualche multiple integrale di $p$ appartiene a $S$, allora $2p$ appartiene anche a $S$.

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