Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO) 2012 — Mumbai

Find original number after wrong subtraction sequence

Rama was asked by her teacher to subtract 3 from a certain number and then divide the result by 9. Instead, she subtracted 9 and then divided the result by 3. She got 43 as the answer. What would have been her answer if she had solved the problem correctly?

Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Trova il numero originale dopo la sequenza di sottrazione sbagliata

Rama fu chiesto dal suo insegnante di sottrarre 3 da un certo numero e poi dividere il risultato per 9. Invece, ha sottratto 9 e poi diviso il risultato per 3. Ha ricevuto 43 come risposta. Che risposta avrebbe dato se avesse risolto correttamente il problema?

Risposta: 3 src_prmo_2012__Q01

Maximum area of triangle with integer sides and perimeter 7

A triangle with perimeter 7 has integer side lengths. What is the maximum possible area of such a triangle?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $\frac{3\sqrt{7}}{4}$ Fonte: apri PDF

L’area massima di un triangolo con lati interi e perimetro 7

Un triangolo con perimetro 7 ha lunghezze laterali interi. Qual è l’area massima possibile di un triangolo simile?

Risposta: \frac{3\sqrt{7}}{4} src_prmo_2012__Q02

Count pairs of positive integers satisfying x + 3y = 1007

For how many pairs of positive integers $(x,y)$ is $x+3y=1007$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 335 Fonte: apri PDF

Contare coppie di integri positivi che soddisfano x + 3y = 1007

Per quante coppie di integri positivi $(x,y)$ è $x+3y=1007$?

Risposta: 335 src_prmo_2012__Q03

Find R + M + O given product and sum conditions

The letters $R$, $M$, and $O$ represent whole numbers. If $R\times M\times O=240$, $R\times Q\times M=46$ and $R+M\times Q=64$, what is the value of $R+M+O$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca R + M + O dati prodotti e condizioni di somma

Le lettere $R$, $M$ e $O$ rappresentano numeri interi. Se $R\times M\times O=240$, $R\times Q\times M=46$ e $R+M\times Q=64$, qual è il valore di $R+M+O$?

src_prmo_2012__Q04

Find all n for which S_n is a perfect square

Let $S_n=n^2+20n+12$, $n$ a positive integer. What is the sum of all possible values of $n$ for which $S_n$ is a perfect square?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 16 Fonte: apri PDF

Trova tutte le n per le quali S_n è un quadrato perfetto

Che $S_n=n^2+20n+12$, $n$ sia un intero positivo. Qual è la somma di tutti i valori possibili di $n$ per i quali $S_n$ è un quadrato perfetto?

Risposta: 16 src_prmo_2012__Q05

Count ways postman delivers exactly two letters correctly

A postman has to deliver five letters to five different houses. Mischievously, he posts one letter through each door without looking to see if it is the correct address. In how many different ways could he do this so that exactly two of the five houses receive the correct letters?

Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 20 Fonte: apri PDF

Conta i modi in cui il postino consegna esattamente due lettere correttamente

Un postino deve consegnare cinque lettere a cinque case diverse. In modo ingannevole, posta una lettera attraverso ogni porta senza cercare di vedere se è l’indirizzo corretto. In quanti modi diversi avrebbe potuto farlo in modo che esattamente due delle cinque case ricevessero le lettere corrette?

Risposta: 20 src_prmo_2012__Q06

Length of BD in triangle with given side and cevian conditions

In $△ABC$, we have $AC=BC=7$ and $AB=2$. Suppose that $D$ is a point on line $AB$ such that $B$ lies between $A$ and $D$ and $CD=8$. What is the length of the segment $BD$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Lunghezza della BD in triangolo con determinate condizioni laterali e ceviane

In $△ABC$, abbiamo $AC=BC=7$ e $AB=2$. Supponiamo che $D$ sia un punto sulla linea $AB$ tale che $B$ sia tra $A$ e $D$ e $CD=8$. Qual è la lunghezza del segmento $BD$?

Risposta: 3 src_prmo_2012__Q07

Area of triangle AEB in rectangle with intersecting segments

In rectangle $ABCD$, $AB=5$ and $BC=3$. Points $F$ and $G$ are on line segment $CD$ so that $DF=1$ and $GC=2$. Lines $AF$ and $BG$ intersect at $E$. What is the area of $△AEB$?

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{25}{2}$ Fonte: apri PDF

Area di triangolo AEB rettangolare con segmenti incrociati

In rettangolo $ABCD$, $AB=5$ e $BC=3$. I punti $F$ e $G$ sono sul segmento di linea $CD$ in modo che $DF=1$ e $GC=2$. Le linee $AF$ e $BG$ si incrociano a $E$. Qual è la superficie di $△AEB$?

Risposta: \frac{25}{2} src_prmo_2012__Q08

Find value of X_144 in geometric-like sequence

Suppose that $4^{x_1}=5$, $5^{x_2}=6$, $6^{x_3}=7$, $\dots$, $126^{x_{123}}=127$, $127^{x_{124}}=128$. What is the value of $x_1{x}_2{x}_3\cdots x_{124}$?

Topic: Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{7}{2}$ Fonte: apri PDF

Ricerca il valore di X_144 in una sequenza geometrica

Supponiamo che $4^{x_1}=5$, $5^{x_2}=6$, $6^{x_3}=7$, $\dots$, $126^{x_{123}}=127$, $127^{x_{124}}=128$. Qual è il valore di $x_1{x}_2{x}_3\cdots x_{124}$?

Risposta: \frac{7}{2} src_prmo_2012__Q09

Length of AY in square with equilateral triangles inside

$ABCD$ is a square and $AB=1$. Equilateral triangles $AYB$ and $CXD$ are drawn such that $X$ and $Y$ are inside the square. What is the length of $XY$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\sqrt{3}-1$ Fonte: apri PDF

Lunghezza di AY in quadrato con triangoli equilaterali all’interno

$ABCD$ è quadrato e $AB=1$. I triangoli equilaterali $AYB$ e $CXD$ sono disegnati in modo tale che $X$ e $Y$ siano all’interno del quadrato. Qual è la lunghezza di $XY$?

Risposta: \sqrt{3}-1 src_prmo_2012__Q10

Largest integer dividing P(n) for all positive even n

Let $P(n)=(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)$. What is the largest integer that is a divisor of $P(n)$ for all positive even integers $n$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 15 Fonte: apri PDF

Il più piccolo numero intero diviso P(n) per tutti i numeri positivi pari n

Let $P(n)=(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)$. Qual è il numero intero più grande che è un divisore di $P(n)$ per tutti i numeri interi pari positivi $n$?

Risposta: 15 src_prmo_2012__Q11

Find m+n given nested radical equals sqrt(m) - sqrt(n)

If $\frac{1}{\sqrt{2011+\sqrt{2011^2-1}}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$, where $m$ and $n$ are positive integers, what is the value of $m+n$?

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2011 Fonte: apri PDF

*Ricerca m+n dato radicale nidificato = sqrt(m) - sqrt(n) *

Se $\frac{1}{\sqrt{2011+\sqrt{2011^2-1}}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$, dove $m$ e $n$ sono integri positivi, qual è il valore di $m+n$?

Risposta: 2011 src_prmo_2012__Q12

Value of cyclic sum a/b + b/c + c/d + d/a with given conditions

If $a=b-c$, $b=c-d$, $c=d-a$ and $abcd\ne 0$, then what is the value of $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$?

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valore della somma ciclica a/b + b/c + c/d + d/a con determinate condizioni

Se $a=b-c$, $b=c-d$, $c=d-a$ e $abcd\ne 0$, qual è il valore di $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$?

src_prmo_2012__Q13

Angle BAC in triangle given circumcenter and incenter positions

$O$ and $I$ are the circumcentre and incentre of $△ABC$ respectively. Suppose $O$ lies in the interior of $△ABC$ and $I$ lies on the circle passing through $B$, $O$, and $C$. What is the magnitude of $\angle BAC$ in degrees?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 60 Fonte: apri PDF

Angolo BAC in triangolo dato posizioni di circoncentro e incentro

$O$ e $I$ sono rispettivamente il circoncentro e l’incentro di $△ABC$. Supponiamo che $O$ si trovi all’interno di $△ABC$ e $I$ si trova sul cerchio che attraversa $B$, $O$ e $C$. Qual è la magnitudine di $\angle BAC$ in gradi?

Risposta: 60 src_prmo_2012__Q14

Count negative integer values satisfying floor equation

How many negative integer values of $x$ satisfy the equation $\left[\frac{x}{3}\right]=\left[\frac{x}{5}\right]$? (Here $[z]$ denotes the greatest integer less than or equal to $z$. For example $[3.4]=3$ and $[-2.3]=-3$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Contare i valori interi negativi che soddisfano l’equazione del pavimento

Quanti valori interi negativi di $x$ soddisfano l’equazione $\left[\frac{x}{3}\right]=\left[\frac{x}{5}\right]$? (Qui $[z]$ indica il più grande numero intero inferiore o uguale a $z$. Ad esempio $[3.4]=3$ e $[-2.3]=-3$.)

Risposta: 8 src_prmo_2012__Q15

Sum of f(k) for k=1 to 20 given multiplicative-type function

Let $N$ be the set of natural numbers. Suppose $f:N\to N$ is a function satisfying the following conditions: (a) $f(mn)=f(m)f(n)$; (b) $f(m)<f(n)$ if $m<n$; (c) $f(2)=2$. What is the value of $\sum _{k=1}^{20}f(k)$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 210 Fonte: apri PDF

Summa di f(k) per k=1 a 20 data funzione di tipo moltiplicativo

$N$ sia l’insieme dei numeri naturali. Supponiamo che $f:N\to N$ sia una funzione che soddisfa le seguenti condizioni: a) $f(mn)=f(m)f(n)$; b) $f(m)<f(n)$ se $m<n$; c) $f(2)=2$. Qual è il valore di $\sum _{k=1}^{20}f(k)$?

Risposta: 210 src_prmo_2012__Q16

Value of product expression given roots of cubic

Let $x_1,x_2,x_3$ be the roots of the equation $x^3+3x+5=0$. What is the value of the expression $\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_3+\frac{1}{x_3}\right)$?

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: $-\frac{18}{5}$ Fonte: apri PDF

Valuta dell’espressione del prodotto data alle radici di cubo

$x_1,x_2,x_3$ siano le radici dell’equazione $x^3+3x+5=0$. Qual è il valore dell’espressione $\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_3+\frac{1}{x_3}\right)$?

Risposta: -\frac{18}{5} src_prmo_2012__Q17

Sum of squares of roots of quadratic involving floor function

What is the sum of the squares of the roots of the equation $x^2-7[x]+5=0$? (Here $[x]$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$. For example $[3.4]=3$ and $[-2.3]=-3$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa dei quadrati delle radici quadratiche che coinvolgono la funzione del pavimento

Qual è la somma dei quadrati delle radici dell’equazione $x^2-7[x]+5=0$? (Qui $[x]$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Per esempio $[3.4]=3$ e $[-2.3]=-3$.)

src_prmo_2012__Q18

Count integer pairs (x,y) satisfying quartic Diophantine

How many integer pairs $(x,y)$ satisfy $x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Contare le coppie di numeri interi (x,y) che soddisfano i quartici diofantini

Quante coppie di numeri interi $(x,y)$ soddisfano $x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0$?

Risposta: 6 src_prmo_2012__Q19

Area of region bounded by two semicircles

$PS$ is a line segment of length 4 and $O$ is the midpoint of $PS$. A semicircular arc is drawn with $PS$ as diameter. Let $X$ be the midpoint of this arc. $Q$ and $R$ are points on the arc $PXS$ such that $QR$ is parallel to $PS$ and the semicircular arc drawn with $QR$ as diameter is tangent to $PS$. What is the area of the region $QXROQ$ bounded by the two semicircular arcs?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: $\pi -2$ Fonte: apri PDF

Area di regione delimitata da due semicircoli

$PS$ è un segmento di linea di lunghezza 4 e $O$ è il punto medio di $PS$. Un arco semicircolare è disegnato con $PS$ diametro. Che $X$ sia il punto medio di questo arco. $Q$ e $R$ sono punti sull’arco $PXS$ in modo tale che $QR$ sia parallelo a $PS$ e l’arco semicircolare disegnato con $QR$ come diametro sia tangente a $PS$. Qual è l’area della regione $QXROQ$ delimitata dai due archi semicircolari?

Risposta: \pi - 2 src_prmo_2012__Q20