Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO) 2013 — Mumbai

Smallest k so that k(3^3+4^3+5^3)=a^n, n>1

What is the smallest positive integer $k$ such that $k(3^3+4^3+5^3)=a^n$ for some positive integers $a$ and $n$, with $n>1$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 Fonte: apri PDF

La k più piccola in modo che k(3^3+4^3+5^3)=a^n, n>1

Qual è il più piccolo intero positivo $k$ tale che $k(3^3+4^3+5^3)=a^n$ per alcuni interi positivi $a$ e $n$, con $n>1$?

Risposta: 1 src_prmo_2013__Q01

Value of sum of 1/(S_n+S_{n-1}) for n=1 to 99

Let $S_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$. What is the value of ${\sum }_{n=1}^{99}\frac{1}{S_n+S_{n-1}}$?

Topic: Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valore della somma di 1/(S_n+S_{n-1}) per n=1 a 99

Let $S_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$. Qual è il valore di ${\sum }_{n=1}^{99}\frac{1}{S_n+S_{n-1}}$?

src_prmo_2013__Q02

Sum of all integer values of a making x^2+ax+20=0 have integer roots

It is given that the equation $x^2+ax+20=0$ has integer roots. What is the sum of all possible values of $a$?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Risposta: 0 Fonte: apri PDF

La somma di tutti i valori interi di un rendendo x^2+ax+20=0 hanno radici interi

È dato che l’equazione $x^2+ax+20=0$ ha radici interi. Qual è la somma di tutti i valori possibili di $a$?

Risposta: 0 src_prmo_2013__Q03

Product of all possible values of YZ given XY=10, XZ=3 collinear

Three points $X$, $Y$, $Z$ are on a straight line such that $XY=10$ and $XZ=3$. What is the product of all possible values of $YZ$?

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 91 Fonte: apri PDF

Prodotto di tutti i valori possibili di YZ dati con XY=10, XZ=3 collineare

Tre punti $X$, $Y$, $Z$ sono su una linea retta tale che $XY=10$ e $XZ=3$. Qual è il prodotto di tutti i possibili valori di $YZ$?

Risposta: 91 src_prmo_2013__Q04

Find n given 299 ways to pick two different-colour balls from bag

There are $n-1$ red balls, $n$ green balls and $n+1$ blue balls in a bag. The number of ways of choosing two balls from the bag that have different colours is 299. What is the value of $n$?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Trova n dati 299 modi per scegliere due palle di colore diverso dal sacchetto

Ci sono sfere rosse $n-1$, sfere verdi $n$ e sfere blu $n+1$ in una borsa. Il numero di modi per scegliere due palle dalla borsa che hanno colori diversi è di 299. Qual è il valore di $n$?

Risposta: 10 src_prmo_2013__Q05

Find S(5N+2013) where N is smallest positive integer with digit sum 2013

Let $S(M)$ denote the sum of the digits of a positive integer $M$ written in base 10. Let $N$ be the smallest positive integer such that $S(N)=2013$. What is the value of $S(5N+2013)$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca S(5N+2013) dove N è il numero intero positivo più piccolo con somma digitale 2013

$S(M)$ indichi la somma delle cifre di un intero positivo $M$ scritto nella base 10. $N$ sia il numero intero positivo più piccolo tale che $S(N)=2013$. Qual è il valore di $S(5N+2013)$?

src_prmo_2013__Q06

Minimum total marbles n for Akbar-Birbal statements to hold

Let Akbar and Birbal together have $n$ marbles, where $n>0$. Akbar says to Birbal, “If I give you some marbles then you will have twice as many marbles as I will have.” Birbal says to Akbar, “If I give you some marbles then you will have three times as many marbles as I will have.” What is the minimum possible value of $n$ for which the above statements are both true?

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 9 Fonte: apri PDF

Minimum totale di marmi n per le dichiarazioni di Akbar-Birbal da tenere

Accettiamo insieme Akbar e Birbal di $n$ marmi, dove $n>0$. Akbar dice a Birbal: “Se ti do un po’ di marmi, allora avrai il doppio dei miei”. Birbal dice a Akbar: “Se ti do un po’ di marmi, allora avrai tre volte più di me”. Qual è il valore minimo possibile di $n$ per il quale le affermazioni sopra indicate sono entrambe vere?

Risposta: 9 src_prmo_2013__Q07

Length of PQ, midpoints of diagonals of trapezium with parallel sides 16 and 20

Let $AB$ and $BC$ be the parallel sides of a trapezium $ABCD$. Let $P$ and $Q$ be the midpoints of the diagonals $AC$ and $BD$. If $AD=16$ and $BC=20$, what is the length of $PQ$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 2 Fonte: apri PDF

Lunghezza del PQ, punti di mezzo di diagonali del trapezio con lati paralleli 16 e 20

I lati $AB$ e $BC$ siano paralleli di un trapezio $ABCD$. I punti medi $P$ e $Q$ siano i punti medi dei diagonali $AC$ e $BD$. Se $AD=16$ e $BC=20$, qual è la lunghezza di $PQ$?

Risposta: 2 src_prmo_2013__Q08

Angle BOC when B,H,I,C are concyclic in triangle ABC

In a triangle $ABC$, let $H$, $I$ and $O$ be the orthocentre, incentre and circumcentre, respectively. If the points $B$, $H$, $I$, $C$ lie on a circle, what is the magnitude of $\angle BOC$ in degrees?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo BOC quando B,H,I,C sono conciclici nel triangolo ABC

In un triangolo $ABC$, $H$, $I$ e $O$ siano rispettivamente l’ortocentro, l’incentro e il circoncentro. Se i punti $B$, $H$, $I$, $C$ si trovano su un cerchio, qual è la magnitudine di $\angle BOC$ in gradi?

src_prmo_2013__Q09

Sum of three numbers in Carol’s addition/multiplication mix-up problem

Carol was given three numbers and was asked to add the largest of the three to the product of the other two. Instead, she multiplied the largest with the sum of the other two, but still got the right answer. What is the sum of the three numbers?

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Summa di tre numeri nel problema di aggiunta/moltiplicazione di Carol *

Carol ricevette tre numeri e gli fu chiesto di aggiungere il più grande dei tre al prodotto degli altri due. Invece, moltiplicò la più grande con la somma delle altre due, ma ottenne comunque la risposta giusta. Qual è la somma dei tre numeri?

src_prmo_2013__Q10

Value of x^2+y^2+z^2 given three quadratic equations in x,y,z

Three real numbers $x$, $y$, $z$ are such that $x^2+6y=-17$, $y^2+4z=1$ and $z^2+2x=2$. What is the value of $x^2+y^2+z^2$?

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valore di x^2+y^2+z^2 dato tre equazioni quadratiche in x,y,z*

Tre numeri reali $x$, $y$, $z$ sono tali che $x^2+6y=-17$, $y^2+4z=1$ e $z^2+2x=2$. Qual è il valore di $x^2+y^2+z^2$?

src_prmo_2013__Q11

Length of PC in equilateral triangle with rectangle PQRS inscribed

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Let $P$ and $S$ be points on $AB$ and $AC$, respectively, and let $Q$ and $R$ be points on $BC$ such that $PQRS$ is a rectangle. If $PQ=\sqrt{3}PS$ and the area of $PQRS$ is $28\sqrt{3}$, what is the length of $PC$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Lunghezza del PC in triangolo equilaterale con PQRS rettangolo inciso *

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo equilaterale. Che $P$ e $S$ siano punti su $AB$ e $AC$, rispettivamente, e che $Q$ e $R$ siano punti su $BC$ in modo tale che $PQRS$ sia un rettangolo. Se $PQ=\sqrt{3}PS$ e la superficie di $PQRS$ sono $28\sqrt{3}$, quale è la lunghezza di $PC$?

src_prmo_2013__Q12

Maximum distinct colours in colouring of {1,…,1000} with divisibility constraint

To each element of the set $S=\{1,2,\dots ,1000\}$ a colour is assigned. Suppose that for any two elements $a$, $b$ of $S$, if $15$ divides $a+b$ then they are both assigned the same colour. What is the maximum number of distinct colours used?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Coloure distinte massime in colorazione di {1,…,1000} con restrizione di divisibilità

Ogni elemento del set $S=\{1,2,\dots ,1000\}$ è assegnato un colore. Supponiamo che per qualsiasi due elementi $a$, $b$ di $S$, se $15$ divide $a+b$ allora entrambi ricevono lo stesso colore. Qual è il numero massimo di colori distinti utilizzati?

Risposta: 3 src_prmo_2013__Q13

Find m+n where m,n are smallest odd/even integers making triangular number a perfect square

Let $m$ be the smallest odd positive integer for which $1+2+\cdots +m$ is a square of an integer and let $n$ be the smallest even positive integer for which $1+2+\cdots +n$ is a square of an integer. What is the value of $m+n$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova m+n dove m,n sono i numeri interi più piccoli pari/pari che rendono il numero triangolare un quadrato perfetto

Che $m$ sia il più piccolo numero intero parziale per il quale $1+2+\cdots +m$ è il quadrato di un intero e che $n$ sia il più piccolo numero intero pari per il quale $1+2+\cdots +n$ è il quadrato di un intero. Qual è il valore di $m+n$?

src_prmo_2013__Q14

Area of ABCD given A2B2C2D2 (midpoints of midpoints) is a 4x6 rectangle

Let $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ be the midpoints of the sides of a convex quadrilateral $ABCD$ and let $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$ be the midpoints of the sides of the quadrilateral $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. If $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ is a rectangle with sides 4 and 6, then what is the area of $ABCD$?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area di ABCD data A2B2C2D2 (punti di centro dei punti di centro) è un rettangolo 4x6

I punti $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ siano i punti medi dei lati di un quadrilaterale converso $ABCD$ e $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$ siano i punti medi dei lati del quadrilaterale $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Se $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ è un rettangolo con lati 4 e 6, qual è la superficie di $ABCD$?

src_prmo_2013__Q15

Sum of all b for which two quadratics share a common root

Let $f(x)=x^2-3x+b$ and $g(x)=x^2+bx-3$, where $b$ is a real number. What is the sum of all possible values of $b$ for which the equations $f(x)=0$ and $g(x)=0$ have a common root?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa di tutti i b per i quali due quadratici condividono una radice comune

$f(x)=x^2-3x+b$ e $g(x)=x^2+bx-3$, dove $b$ è un numero reale. Qual è la somma di tutti i valori possibili di $b$ per i quali le equazioni $f(x)=0$ e $g(x)=0$ hanno una radice comune?

src_prmo_2013__Q16

Radius of circle S1 given circle configuration with angle YXO=30 and radius of S2=100

Let $S$ be a circle with centre $O$. A chord $AB$, not a diameter, divides $S$ into two regions $R_1$ and $R_2$ such that $O$ belongs to $R_2$. Let $S_1$ be a circle with centre in $R_1$, touching $AB$ at $X$ and $S$ internally. Let $S_2$ be a circle with centre in $R_2$, touching $AB$ at $Y$, the circle $S$ internally and passing through the centre of $S$. The point $X$ lies on the diameter passing through the centre of $S_2$ and $Y$. If $\angle YXO=30^{\circ }$ and the radius of $S_2$ is 100, then what is the radius of $S_1$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Radius del cerchio S1 data configurazione del cerchio con angolo YXO=30 e raggio S2=100

Il $S$ deve essere un cerchio con il centro $O$. Un accordo $AB$, non di diametro, divide $S$ in due regioni $R_1$ e $R_2$ in modo tale che $O$ appartiene a $R_2$. Il $S_1$ deve essere un cerchio con centro in $R_1$, toccando $AB$ a $X$ e $S$ internamente. Il $S_2$ deve essere un cerchio con centro in $R_2$, che tocchi $AB$ a $Y$, il cerchio $S$ internamente e attraversa il centro di $S$. Il punto $X$ si trova sul diametro che attraversa il centro di $S_2$ e $Y$. Se $\angle YXO=30^{\circ }$ e il raggio di $S_2$ è di 100, qual è il raggio di $S_1$?

src_prmo_2013__Q17

Maximum k such that 2013 equals sum of k consecutive positive integers

What is the maximum possible value of $k$ such that 2013 can be written as a sum of $k$ consecutive positive integers?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 61 Fonte: apri PDF

Maximo k tale che il 2013 sia pari alla somma di k numeri interi positivi consecutivi

Qual è il valore massimo possibile di $k$ tale che il 2013 possa essere scritto come somma di $k$ numeri interi positivi consecutivi?

Risposta: 61 src_prmo_2013__Q18

Length of AC in right triangle given perpendicular bisector area ratio 13:18

In a triangle $ABC$ with $\angle BCA=90^{\circ }$, the perpendicular bisector of $AB$ intersects segments $AB$ and $AC$ at $X$ and $Y$, respectively. If the ratio of the area of quadrilateral $BXYC$ to the area of triangle $ABC$ is $13:18$ and $BC=12$ then what is the length of $AC$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza di AC nel triangolo rettangolo dato il rapporto perpendicolare di superficie bisettore 13:18

In un triangolo $ABC$ con $\angle BCA=90^{\circ }$, il bisettore perpendicolare di $AB$ interseca i segmenti $AB$ e $AC$ rispettivamente a $X$ e $Y$. Se il rapporto tra la superficie quadrilaterale $BXYC$ e la superficie del triangolo $ABC$ è $13:18$ e $BC=12$, qual è la lunghezza di $AC$?

src_prmo_2013__Q19

Sum of natural numbers less than 64 with exactly three 1s in base 2

What is the sum (in base 10) of all the natural numbers less than 64 which have exactly three ones in their base 2 representation?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa di numeri naturali inferiori a 64 con esattamente tre 1s nella base 2

Qual è la somma (in base 10) di tutti i numeri naturali inferiori a 64 che hanno esattamente tre numeri nella loro rappresentazione base 2?

src_prmo_2013__Q20