Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO) 2014 — Mumbai

Largest prime factor of k given k^2 < 2014 < (k+1)^2

A natural number $k$ is such that $k^2<2014<(k+1{)}^2$. What is the largest prime factor of $k$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 11 Fonte: apri PDF

Fattore primo più piccolo di k dato k^2 < 2014 < (k+1)^2

Un numero naturale $k$ è tale che $k^2<2014<(k+1{)}^2$. Qual è il più grande fattore primo di $k$?

Risposta: 11 src_prmo_2014__Q01

2014th term of sequence where each term is sum of cubes of digits of previous

The first term of a sequence is 2014. Each succeeding term is the sum of the cubes of the digits of the previous term. What is the $2014^{\text{th}}$ term of the sequence?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 Fonte: apri PDF

*2014° termine di sequenza in cui ogni termine è la somma di cubetti di cifre di * precedenti

Il primo termine di una sequenza è 2014. Ogni termine successivo è la somma dei cubi dei numeri del termine precedente. Qual è il termine $2014^{\text{th}}$ della sequenza?

Risposta: 2 src_prmo_2014__Q02

Value of DA in convex quadrilateral ABCD with perpendicular diagonals

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with perpendicular diagonals. If $AB=20$, $BC=70$ and $CD=90$, then what is the value of $DA$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 60 Fonte: apri PDF

Valore di DA in ABCD quadrilaterale convexa con diagonali perpendicolari

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale converso con diagonali perpendicolari. Se $AB=20$, $BC=70$ e $CD=90$, qual è il valore di $DA$?

Risposta: 60 src_prmo_2014__Q03

Greatest possible perimeter of integer-sided triangle with one side three times another and third side 17

In a triangle with integer side lengths, one side is three times as long as a second side, and the third side is 17. What is the greatest possible perimeter of the triangle?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 49 Fonte: apri PDF

Il più grande perimetro possibile di un triangolo a lato intero con un lato tre volte l’altro e un terzo lato 17

In un triangolo con lunghezze laterali interi, un lato è tre volte più lungo di un secondo lato, e il terzo lato è 17. Qual è il più grande perimetro possibile del triangolo?

Risposta: 49 src_prmo_2014__Q04

Value of a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 given a symmetric constraint

If real numbers $a,b,c,d,e$ satisfy $a+1=b+2=c+3=d+4=k+5=a+b+c+d+e+3,$ what is the value of $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$?

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Valuta di a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 data una restrizione simmetrica

Se i numeri reali $a,b,c,d,e$ soddisfano $a+1=b+2=c+3=d+4=k+5=a+b+c+d+e+3,$ qual è il valore di $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$?

Risposta: 10 src_prmo_2014__Q05

Smallest natural number n such that x^2 - nx + 2014 = 0 has integer roots

What is the smallest possible natural number $n$ for which the equation $x^2-nx+2014=0$ has integer roots?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 91 Fonte: apri PDF

Il più piccolo numero naturale n tale che x^2 - nx + 2014 = 0 abbia radici interi

Qual è il numero naturale $n$ più piccolo possibile per il quale l’equazione $x^2-nx+2014=0$ ha radici interi?

Risposta: 91 src_prmo_2014__Q06

Value of 2^(1/y) + 2^(1/x) given 2^(x+y) = 4

If $2^{x+y}=4$, what is the value of $2^{1/x}+2^{1/y}$?

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Valore di 2^(1/y) + 2^(1/x) dato 2^(x+y) = 4

Se $2^{x+y}=4$, qual è il valore di $2^{1/x}+2^{1/y}$?

Risposta: 4 src_prmo_2014__Q07

Number of elements in S given mean conditions on S∪{15} and S∪{15,1}

Let $S$ be a set of real numbers with mean $M$. If the means of the sets $S\cup \{15\}$ and $S\cup \{15,1\}$ are $M+2$ and $M+1$, respectively, then how many elements does $S$ have?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Numero di elementi in S date condizioni medie su S∪{15} e S∪{15,1}

$S$ sia un insieme di numeri reali con media $M$. Se i mezzi degli insiemi $S\cup \{15\}$ e $S\cup \{15,1\}$ sono rispettivamente $M+2$ e $M+1$, quanti elementi ha $S$?

Risposta: 4 src_prmo_2014__Q08

Sum of all possible values of q given conditions on roots of two quadratics

Natural numbers $p,q,r$ are such that $a$ and $b$ are roots of $x^2-px+1=0$ then $a+\frac{1}{b}$ and $b+\frac{1}{a}$ are roots of $x^2-rx+q=0$. What is the sum of all possible values of $q$?

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Summa di tutti i valori possibili di q di determinate condizioni sulle radici di due quadratici

I numeri naturali $p,q,r$ sono tali che $a$ e $b$ sono radici di $x^2-px+1=0$ e $a+\frac{1}{b}$ e $b+\frac{1}{a}$ sono radici di $x^2-rx+q=0$. Qual è la somma di tutti i valori possibili di $q$?

Risposta: 10 src_prmo_2014__Q09

Area of triangle ABC given ratio AY:YC=2:1 and area of AXY=10

In a triangle $ABC$, $X$ and $Y$ are points on the segments $AB$ and $AC$, respectively, such that $AX:XB=1:2$ and $AY:YC=2:1$. If the area of triangle $AXY$ is 10 then what is the area of triangle $ABC$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 45 Fonte: apri PDF

Area del triangolo ABC dato rapporto AY:YC=2:1 e area di AXY=10

In un triangolo $ABC$, $X$ e $Y$ sono punti sui segmenti $AB$ e $AC$, rispettivamente, tali da $AX:XB=1:2$ e $AY:YC=2:1$. Se l’area del triangolo $AXY$ è 10 allora qual è l’area del triangolo $ABC$?

Risposta: 45 src_prmo_2014__Q10

Number of pairs (x,y) with z=gcd satisfying 2xy + y(z,y) = (x+y)^2

For natural numbers $x$ and $y$, let $(x,y)$ denote the greatest common divisor of $x$ and $y$. How many pairs of natural numbers $x$ and $y$ with $x\le y$ satisfy the equation $xy+y(x,y)=(x+y{)}^2$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Numero di coppie (x,y) con z=gcd soddisfacente 2xy + y(z,y) = (x+y) ^2

Per i numeri naturali $x$ e $y$, $(x,y)$ indichi il più grande divisore comune di $x$ e $y$. Quante coppie di numeri naturali $x$ e $y$ con $x\le y$ soddisfano l’equazione $xy+y(x,y)=(x+y{)}^2$?

Risposta: 3 src_prmo_2014__Q11

Sum of inradii of triangles ABD and BCD in quadrilateral ABCD

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $\angle DAB=\angle BDC=90^{\circ }$. Let the incircles of triangles $ABD$ and $BCD$ touch $BD$ at $P$ and $Q$, respectively, with $P$ lying in between $B$ and $Q$. If $AD=999$ and $PQ=200$ then what is the sum of the radii of the incircles of triangles $ABD$ and $BCD$?

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 799 Fonte: apri PDF

*Summa delle radici di triangoli ABD e BCD in ABCD quadrilaterale *

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale converso con $\angle DAB=\angle BDC=90^{\circ }$. Lasciate che gli incircoli dei triangoli $ABD$ e $BCD$ toccino $BD$ a $P$ e $Q$, rispettivamente, con $P$ tra $B$ e $Q$. Se $AD=999$ e $PQ=200$, qual è la somma dei radii degli incircoli dei triangoli $ABD$ e $BCD$?

Risposta: 799 src_prmo_2014__Q12

Count natural numbers n in [1,2014] for which 8n/(9999-n) is an integer

For how many natural numbers $n$ between 1 and 2014 (both inclusive) is $\frac{8n}{9999-n}$ an integer?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Contare i numeri naturali n nel [1,2014] per i quali 8n/(9999-n) è un intero

Per quanti numeri naturali $n$ tra il 1 e il 2014 (entrambi inclusi) $\frac{8n}{9999-n}$ è un numero intero?

Risposta: 1 src_prmo_2014__Q13

Number of people in Manjul’s family given coffee/milk mixture problem

One morning, each member of Manjul’s family drank an 8-ounce mixture of coffee and milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Manjul drank $1/7$-th of the total amount of milk and $2/17$-th of the total amount of coffee. How many people are there in Manjul’s family?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Nombre di persone nella famiglia di Manjul che hanno avuto problemi con la miscela di caffè/ latte

Una mattina, ogni membro della famiglia di Manjul bevette un misto di circa 10 grammi di caffè e latte. Le quantità di caffè e latte variavano da tazza a tazza, ma non erano mai zero. Manjul ha bevuto $1/7$-th della quantità totale di latte e $2/17$-th della quantità totale di caffè. Quante persone ci sono nella famiglia di Manjul?

Risposta: 8 src_prmo_2014__Q14

Length XY in triangle XOY with angle=90, midpoints M,N on legs, XN=YM=22

Let $XOY$ be a triangle with $\angle XOY=90^{\circ }$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of legs $OX$ and $OY$, respectively. Suppose that $XN=19$ and $YM=22$. What is $XY$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 26 Fonte: apri PDF

Lunghezza XY in triangolo XOY con angolo=90, punti di mezzo M,N sulle gambe, XN=YM=22

Che $XOY$ sia un triangolo con $\angle XOY=90^{\circ }$. Il punto medio delle gambe $M$ e $N$ sono rispettivamente $OX$ e $OY$. Supponiamo che $XN=19$ e $YM=22$. Che cos’è $XY$?

Risposta: 26 src_prmo_2014__Q15

Value of angle QPR in triangle ABC with incenter I and angle BAC=40

In a triangle $ABC$, let $I$ denote the incenter. Let the lines $AI$, $BI$, and $CI$ intersect the incircle at $P$, $Q$, and $R$, respectively. If $\angle BAC=40^{\circ }$, what is the value of $\angle QPR$ in degrees?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 55 Fonte: apri PDF

Valuta dell’angolo QPR nel triangolo ABC con incentro I e angolo BAC=40

In un triangolo $ABC$, $I$ indichi l’incentro. Lasciate che le linee $AI$, $BI$ e $CI$ incrociano l’incircolo rispettivamente a $P$, $Q$ e $R$. Se $\angle BAC=40^{\circ }$, qual è il valore di $\angle QPR$ in gradi?

Risposta: 55 src_prmo_2014__Q16

Smallest b such that N(b)=20, where N(b) counts a for which x^2+ax+b=0 has no integer roots

For a natural number $b$, let $N(b)$ denote the number of natural numbers $a$ for which the equation $x^2+ax+b=0$ has integer roots. What is the smallest value of $b$ for which $N(b)=20$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 749 Fonte: apri PDF

La b più piccola tale che N(b) = 20, dove N(b) conta a per la quale x^2+ax+b=0 non ha radici interi

Per un numero naturale $b$, $N(b)$ indica il numero di numeri naturali $a$ per i quali l’equazione $x^2+ax+b=0$ ha radici interi. Qual è il valore più piccolo di $b$ per il quale $N(b)=20$?

Risposta: 749 src_prmo_2014__Q17

Least possible value of f(999) for one-to-one function on naturals with f(mn)=f(m)f(n)

Let $f$ be a one-to-one function from the set of natural numbers to itself such that $f(mn)=f(m)f(n)$ for all natural numbers $m$ and $n$. What is the least possible value of $f(999)$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 24 Fonte: apri PDF

*Valuta minima possibile di f(999) per la funzione uno a uno su naturali con f(mn) = f(m) f(n) *

Lasciate che $f$ sia una funzione uno a uno dall’insieme dei numeri naturali a se stesso tale che $f(mn)=f(m)f(n)$ per tutti i numeri naturali $m$ e $n$. Qual è il valore minimo possibile di $f(999)$?

Risposta: 24 src_prmo_2014__Q18

Value of sum of x_i^2/(1-x_i) given x_1+…+x_2014=1 and cyclic sum condition

Let $x_1,x_2,\dots ,x_{2014}$ be real numbers different from 1, such that $x_1+x_2+\cdots +x_{2014}=1$ and $\frac{x_1}{1-x_1}+\frac{x_2}{1-x_2}+\cdots +\frac{x_{2014}}{1-x_{2014}}=1.$ What is the value of $\frac{x_1^2}{1-x_1}+\frac{x_2^2}{1-x_2}+\cdots +\frac{x_{2014}^2}{1-x_{2014}}?$

Topic: Algebra Metodo: Telescoping, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 0 Fonte: apri PDF

Valuta della somma di x_i^2/(1-x_i) data x_1+…+x_2014=1 e condizione di somma ciclica

Che $x_1,x_2,\dots ,x_{2014}$ siano numeri reali diversi da 1, come $x_1+x_2+\cdots +x_{2014}=1$ e $\frac{x_1}{1-x_1}+\frac{x_2}{1-x_2}+\cdots +\frac{x_{2014}}{1-x_{2014}}=1.$ Qual è il valore di $\frac{x_1^2}{1-x_1}+\frac{x_2^2}{1-x_2}+\cdots +\frac{x_{2014}^2}{1-x_{2014}}?$

Risposta: 0 src_prmo_2014__Q19

Number of ordered pairs (A,B) with A,B subsets of {1,…,5}, neither A⊆B nor B⊆A

What is the number of ordered pairs $(A,B)$ such that $A$ and $B$ are subsets of $\{1,2,3,4,5\}$ and neither $A\subseteq B$ nor $B\subseteq A$?

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 570 Fonte: apri PDF

Numero di coppie ordinate (A,B) con sottoinsiemi A,B di {1,…,5}, né A⊆B né B⊆A

Qual è il numero di coppie ordinate $(A,B)$ in modo tale che $A$ e $B$ siano sottoinsiemi di $\{1,2,3,4,5\}$ e non $A\subseteq B$ né $B\subseteq A$?

Risposta: 570 src_prmo_2014__Q20