Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO) 2015 — Set A

Man walks and rides back; find hours to walk both ways

A man walks a certain distance and rides back in $3\frac{3}{4}$ hours; he could ride both ways in $2\frac{1}{2}$ hours. How many hours would it take him to walk both ways?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5 Fonte: apri PDF

L’uomo cammina e torna indietro; trova ore per camminare in entrambe le direzioni

Un uomo cammina una certa distanza e ritorna in $3\frac{3}{4}$ ore; può andare in entrambe le direzioni in $2\frac{1}{2}$ ore. Quante ore gli ci vorrebbero per camminare in entrambe le direzioni?

Risposta: 5 src_prmo_2015_a__Q01

Find $a^2+b^2$ given $a+b=a/b+b/a$ for positive integers

Positive integers $a$ and $b$ are such that $a+b=a/b+b/a$. What is the value of $a^2+b^2$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 Fonte: apri PDF

Trova $a^2+b^2$ dato $a+b=a/b+b/a$ per i numeri interi positivi

I numeri interi positivi $a$ e $b$ sono tali da $a+b=a/b+b/a$. Qual è il valore di $a^2+b^2$?

Risposta: 2 src_prmo_2015_a__Q02

Two quadratics share exactly one common root; find $k$

The equations $x^2-4x+k=0$ and $x^2+kx-4=0$, where $k$ is a real number, have exactly one common root. What is the value of $k$?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Due quadratici condividono esattamente una radice comune; trovare $k$

Le equazioni $x^2-4x+k=0$ e $x^2+kx-4=0$, dove $k$ è un numero reale, hanno esattamente una radice comune. Qual è il valore di $k$?

Risposta: 3 src_prmo_2015_a__Q03

Non-zero polynomial with integer coefficients divisible by $n$ for all positive $n$; find $P(0)$

Let $P(x)$ be a non-zero polynomial with integer coefficients. If $P(n)$ is divisible by $n$ for each positive integer $n$, what is the value of $P(0)$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0 Fonte: apri PDF

Polinomio non-zero con coefficienti interi divisibili per $n$ per tutti i $n$ positivi; trovare $P(0)$

$P(x)$ sia un polinomio non zero con coefficienti interi. Se $P(n)$ è divisibile per $n$ per ogni intero positivo $n$, qual è il valore di $P(0)$?

Risposta: 0 src_prmo_2015_a__Q04

Count line segments with both endpoints at vertices of a cube

How many line segments have both their endpoints located at the vertices of a given cube?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 28 Fonte: apri PDF

Segmenti di linea di conteggio con entrambe le estremità a vertici di un cubo

Quanti segmenti di linea hanno entrambi i loro punti di fine situati alle vertici di un determinato cubo?

Risposta: 28 src_prmo_2015_a__Q05

Sum of even-digit function $E$ from 1 to 100

Let $E(n)$ denote the sum of the even digits of $n$. For example, $E(1243)=2+4=6$. What is the value of $E(1)+E(2)+E(3)+\cdots +E(100)$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 400 Fonte: apri PDF

Summa della funzione a numeri pari $E$ da 1 a 100

$E(n)$ indichi la somma dei numeri pari di $n$. Per esempio, $E(1243)=2+4=6$. Qual è il valore di $E(1)+E(2)+E(3)+\cdots +E(100)$?

Risposta: 400 src_prmo_2015_a__Q06

Two-digit $N$ whose digit-sum with its reversal is a perfect square

How many two-digit positive integers $N$ have the property that the sum of $N$ and the number obtained by reversing the order of the digits of $N$ is a perfect square?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Due cifre $N$ la cui cifra-somma con la sua inversione è un quadrato perfetto

Quanti numeri interi positivi a due cifre $N$ hanno la proprietà che la somma di $N$ e il numero ottenuto invertendo l’ordine dei numeri di $N$ è un quadrato perfetto?

Risposta: 8 src_prmo_2015_a__Q07

Radius of circular plate given chord length and sagitta

The figure below shows a broken piece of a circular plate made of glass. $C$ is the midpoint of $AB$, and $D$ is the midpoint of arc $AB$. Given that $AB=24$ cm and $CD=6$ cm, what is the radius of the plate in centimetres? (The figure is not drawn to scale.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: 15 Fonte: apri PDF

*Radio della piastra circolare data lunghezza e sagitta dell’accordo *

La figura seguente mostra un pezzo rotto di una piastra circolare di vetro. $C$ è il punto medio di $AB$ e $D$ è il punto medio di arco $AB$. Dato che $AB=24$ cm e $CD=6$ cm, quale è il raggio della piastra in centimetri? (La cifra non è indicata in scala.)

Risposta: 15 src_prmo_2015_a__Q08

Smallest square area containing $2\times 3$ and $3\times 4$ non-overlapping rectangles

A $2\times 3$ rectangle and a $3\times 4$ rectangle are contained within a square without overlapping at any interior point, and the sides of the square are parallel to the sides of the two given rectangles. What is the smallest possible area of the square?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 25 Fonte: apri PDF

Più piccola superficie quadrata contenente $2\times 3$ e $3\times 4$ rettangoli non sovrapposti

Un rettangolo $2\times 3$ e un rettangolo $3\times 4$ sono contenuti all’interno di un quadrato senza sovrapposizioni in alcun punto interno, e i lati del quadrato sono paralleli ai lati dei due rettangoli dati. Qual è la più piccola area possibile del quadrato?

Risposta: 25 src_prmo_2015_a__Q09

Greatest perimeter of integer right triangle with one side 12

What is the greatest possible perimeter of a right-angled triangle with integer side lengths if one of the sides has length 12?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 84 Fonte: apri PDF

Il più grande perimetro del triangolo rettangolo intero con un lato 12

Qual è il più grande perimetro possibile di un triangolo rettangolo con lunghezze laterali interi se uno dei lati ha lunghezza 12?

Risposta: 84 src_prmo_2015_a__Q10

Sum of inradii of three triangles formed by point $P$ on side of rectangle

In rectangle $ABCD$, $AB=8$ and $BC=20$. Let $P$ be a point on $AD$ such that $\angle BPC=90^{\circ }$. If $r_1$, $r_2$, $r_3$ are the radii of the incircles of triangles $APB$, $BPC$ and $CPD$, what is the value of $r_1+r_2+r_3$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Summa degli inradi di tre triangoli formati dal punto $P$ sul lato del rettangolo

In rettangolo $ABCD$, $AB=8$ e $BC=20$. $P$ sia un punto su $AD$ tale che $\angle BPC=90^{\circ }$. Se $r_1$, $r_2$, $r_3$ sono i raggi degli incircoli dei triangoli $APB$, $BPC$ e $CPD$, qual è il valore di $r_1+r_2+r_3$?

Risposta: 8 src_prmo_2015_a__Q11

Find $a^2-b^2+c^2$ from two linear equations

Let $a$, $b$, $c$ be real numbers such that $a-7b+8c=4$ and $8a+4b-c=7$. What is the value of $a^2-b^2+c^2$?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Trova $a^2-b^2+c^2$ da due equazioni lineari

$a$, $b$, $c$ siano numeri reali come $a-7b+8c=4$ e $8a+4b-c=7$. Qual è il valore di $a^2-b^2+c^2$?

Risposta: 1 src_prmo_2015_a__Q12

Largest product of 3 distinct primes $x$, $y$, $10x+y$; sum of digits

Let $n$ be the largest integer that is the product of exactly 3 distinct prime numbers, $x$, $y$ and $10x+y$, where $x$ and $y$ are digits. What is the sum of the digits of $n$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Il più grande prodotto di 3 primmi distinti $x$, $y$, $10x+y$; somma di cifre

$n$ sia il numero intero più grande che è il prodotto di esattamente 3 numeri primi distinti, $x$, $y$ e $10x+y$, dove $x$ e $y$ sono cifre. Qual è la somma delle cifre di $n$?

Risposta: 12 src_prmo_2015_a__Q13

Number of women at party given dance pairing counts

At a party, each man danced with exactly four women and each woman danced with exactly three men. Nine men attended the party. How many women attended the party?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Numero di donne presenti alla festa dato il numero di coppie di danza

In una festa, ogni uomo ballava con esattamente quattro donne e ogni donna ballava con esattamente tre uomini. Nove uomini hanno partecipato alla festa. Quante donne hanno partecipato alla festa?

Risposta: 12 src_prmo_2015_a__Q14

Find $xy$ given $3^x+2^y=985$ and $3^{2x}-2^{2y}=473$

If $3^x+2^y=985$ and $3^{2x}-2^{2y}=473$, what is the value of $xy$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 48 Fonte: apri PDF

Trova $xy$ con $3^x+2^y=985$ e $3^{2x}-2^{2y}=473$

Se $3^x+2^y=985$ e $3^{2x}-2^{2y}=473$, qual è il valore di $xy$?

Risposta: 48 src_prmo_2015_a__Q15

Angle $\angle ADF$ in acute triangle with midpoints and equal angle condition

In acute-angled triangle $ABC$, let $D$ be the midpoint of $BC$. Let $F$ be the midpoint of $AC$. Suppose $\angle BAE=40^{\circ }$. If $\angle DAE=\angle DFE$, what is the value of $\angle ADF$ in degrees?

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 40 Fonte: apri PDF

angolo $\angle ADF$ in un triangolo acuto con punti di mezzo e condizioni di angolo uguale

Nel triangolo acuto $ABC$, $D$ sia il punto medio di $BC$. $F$ sia il punto medio di $AC$. Supponiamo $\angle BAE=40^{\circ }$. Se $\angle DAE=\angle DFE$, qual è il valore di $\angle ADF$ in gradi?

Risposta: 40 src_prmo_2015_a__Q16

Max subset of $\{1,\dots ,100\}$ with no two elements summing to 125

A subset $B$ of the set of first 100 positive integers has the property that no two elements of $B$ sum to 125. What is the maximum possible number of elements in $B$?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 62 Fonte: apri PDF

Sottoinsieme massimo di $\{1,\dots ,100\}$ senza due elementi che si sommano a 125

Un sottogruppo $B$ dell’insieme dei primi 100 interi positivi ha la proprietà che non due elementi di $B$ sommano a 125. Qual è il numero massimo possibile di elementi in $B$?

Risposta: 62 src_prmo_2015_a__Q17

Value of symmetric rational expression $P$ when $a+b+c=0$

Let $a$, $b$, $c$ be such that $a+b+c=0$ and $P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}$ is defined. What is the value of $P$?

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Valore dell’espressione razionale simmetrica $P$ quando $a+b+c=0$

Che $a$, $b$, $c$ siano tali da definire $a+b+c=0$ e $P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}$. Qual è il valore di $P$?

Risposta: 1 src_prmo_2015_a__Q18

Angle $\angle PYX$ for internally tangent circles with diameter tangent to inner circle

The circle $\omega$ touches the circle $\Omega$ internally at $P$. The centre of $\Omega$ is $O$. Let $XY$ be a diameter of $\Omega$ which is also tangent to $\omega$. Assume $PY>PX$. Let $PY$ intersect $\omega$ at $Z$. If $YZ=2PZ$, what is the value of $\angle PYX$ in degrees?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 15 Fonte: apri PDF

angolo $\angle PYX$ per cerchi tangenti interni con diametro tangente al cerchio interno

Il cerchio $\omega$ tocca internamente il cerchio $\Omega$ a $P$. Il centro di $\Omega$ è $O$. Il diametro $XY$ deve essere di $\Omega$ che è anche tangente a $\omega$. Supponiamo $PY>PX$. Lasciate che $PY$ si incroci $\omega$ a $Z$. Se $YZ=2PZ$, qual è il valore di $\angle PYX$ in gradi?

Risposta: 15 src_prmo_2015_a__Q19

Sum of remainders mod 37 for four-consecutive-decreasing-digit numbers

The digits of a positive integer $n$ are four consecutive integers in decreasing order when read from left to right. What is the sum of the possible remainders when $n$ is divided by 37?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 217 Fonte: apri PDF

Summa dei rimanenti mod 37 per i numeri a quattro cifre consecutive in diminuzione

Le cifre di un intero positivo $n$ sono quattro numeri interi consecutivi in ordine decrescente quando si leggono da sinistra a destra. Qual è la somma dei possibili rimanenti quando $n$ è diviso per 37?

Risposta: 217 src_prmo_2015_a__Q20