Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO) 2015 — Set B

Walk and ride round trip; find hours to walk both ways

A man walks a certain distance and rides back in $3\frac{1}{4}$ hours; he could ride both ways in $2\frac{1}{2}$ hours. How many hours would it take him to walk both ways?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Viaggio a piedi e ritorno; trovare ore per camminare in entrambe le direzioni

Un uomo cammina una certa distanza e ritorna in $3\frac{1}{4}$ ore; può andare in entrambe le direzioni in $2\frac{1}{2}$ ore. Quante ore gli ci vorrebbero per camminare in entrambe le direzioni?

Risposta: 4 src_prmo_2015_b__Q01

Two quadratics share one common root; find k

The equations $x^2-4x+k=0$ and $x^2+kx-4=0$, where $k$ is a real number, have exactly one common root. What is the value of $k$?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Due quadratici condividono una radice comune; trovare k

Le equazioni $x^2-4x+k=0$ e $x^2+kx-4=0$, dove $k$ è un numero reale, hanno esattamente una radice comune. Qual è il valore di $k$?

Risposta: 3 src_prmo_2015_b__Q02

Positive integers a,b with a+b=a/b+b/a; find a²+b²

Positive integers $a$ and $b$ are such that $a+b=a/b+b/a$. What is the value of $a^2+b^2$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 Fonte: apri PDF

insieri interi positivi a,b con a+b=a/b+b/a; trovare a2+b2

I numeri interi positivi $a$ e $b$ sono tali da $a+b=a/b+b/a$. Qual è il valore di $a^2+b^2$?

Risposta: 2 src_prmo_2015_b__Q03

Line segments with both endpoints at cube vertices; count

How many line segments have both their endpoints located at the vertices of a given cube?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 28 Fonte: apri PDF

segmenti di linea con entrambi i punti di fine a vertici cubi; conteggio

Quanti segmenti di linea hanno entrambi i loro punti di fine situati alle vertici di un determinato cubo?

Risposta: 28 src_prmo_2015_b__Q04

Non-zero integer-coefficient polynomial divisible by n for all positive n; find P(0)

Let $P(x)$ be a non-zero polynomial with integer coefficients. If $P(n)$ is divisible by $n$ for each positive integer $n$, what is the value of $P(0)$?

Topic: Algebra Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: 0 Fonte: apri PDF

Polinomio a coefficiente intero non zero divisibile per n per tutte le n positive; trovare P(0)

$P(x)$ sia un polinomio non zero con coefficienti interi. Se $P(n)$ è divisibile per $n$ per ogni intero positivo $n$, qual è il valore di $P(0)$?

Risposta: 0 src_prmo_2015_b__Q05

Two-digit N whose digit-reversal sum is a perfect square; count

How many two-digit positive integers $N$ have the property that the sum of $N$ and the number obtained by reversing the order of the digits of $N$ is a perfect square?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8 Fonte: apri PDF

N a due cifre la cui somma di inversione di cifre è un quadrato perfetto; contare

Quanti numeri interi positivi a due cifre $N$ hanno la proprietà che la somma di $N$ e il numero ottenuto invertendo l’ordine dei numeri di $N$ è un quadrato perfetto?

Risposta: 8 src_prmo_2015_b__Q06

Sum of even-digits function E(1)+E(2)+…+E(100)

Let $E(n)$ denote the sum of the even digits of $n$. For example, $E(1243)=2+4=6$. What is the value of $E(1)+E(2)+\cdots +E(100)$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 400 Fonte: apri PDF

*Summa della funzione a numeri pari E(1) + E(2)+…+E(100) *

$E(n)$ indichi la somma dei numeri pari di $n$. Per esempio, $E(1243)=2+4=6$. Qual è il valore di $E(1)+E(2)+\cdots +E(100)$?

Risposta: 400 src_prmo_2015_b__Q07

Circular plate broken piece; midpoint of chord and arc; find radius

The figure below shows a broken piece of a circular plate made of glass. $C$ is the midpoint of $AB$, and $D$ is the midpoint of arc $AB$. Given that $AB=24$ cm and $CD=6$ cm, what is the radius of the plate in centimetres? (The figure is not drawn to scale.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 15 Fonte: apri PDF

*Parte rotta di piastra circolare; punto medio di corda e arco; radio *

La figura seguente mostra un pezzo rotto di una piastra circolare di vetro. $C$ è il punto medio di $AB$ e $D$ è il punto medio di arco $AB$. Dato che $AB=24$ cm e $CD=6$ cm, quale è il raggio della piastra in centimetri? (La cifra non è indicata in scala.)

Risposta: 15 src_prmo_2015_b__Q08

Right triangle with integer sides and one side 12; max perimeter

What is the greatest possible perimeter of a right-angled triangle with integer side lengths if one of the sides has length 12?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 84 Fonte: apri PDF

Triangolo retto con lati interi e un lato 12; perimetro massimo

Qual è il più grande perimetro possibile di un triangolo rettangolo con lunghezze laterali interi se uno dei lati ha lunghezza 12?

Risposta: 84 src_prmo_2015_b__Q09

2×3 and 3×4 rectangles in a square without overlap; minimum square area

A $2\times 3$ rectangle and a $3\times 4$ rectangle are contained within a square without overlapping at any interior point, and the sides of the square are parallel to the sides of the two given rectangles. What is the smallest possible area of the square?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 25 Fonte: apri PDF

2×3 e 3×4 rettangoli in un quadrato senza sovrapposizione; superficie quadrata minima

Un rettangolo $2\times 3$ e un rettangolo $3\times 4$ sono contenuti in un quadrato senza sovrapposizioni in alcun punto interno, e i lati del quadrato sono paralleli ai lati dei due rettangoli dati. Qual è la più piccola area possibile del quadrato?

Risposta: 25 src_prmo_2015_b__Q10

Two linear equations in a,b,c; find a²-b²+c²

Let $a$, $b$, $c$ be real numbers such that $a-7b+8c=4$ and $8a+4b-c=7$. What is the value of $a^2-b^2+c^2$?

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Due equazioni lineari in a,b,c; trovare a2-b2+c2

$a$, $b$, $c$ siano numeri reali come $a-7b+8c=4$ e $8a+4b-c=7$. Qual è il valore di $a^2-b^2+c^2$?

Risposta: 1 src_prmo_2015_b__Q11

Rectangle ABCD with point P on AD, angle BPC=90°; sum of incircle radii

In rectangle $ABCD$, $AB=8$ and $BC=20$. Let $P$ be a point on $AD$ such that $\angle BPC=90^{\circ }$. If $r_1$, $r_2$, $r_3$ are the radii of the incircles of triangles $APB$, $BPC$ and $CPD$, what is the value of $r_1+r_2+r_3$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Rettangolo ABCD con punto P su AD, angolo BPC=90°; somma dei raggi incircoli

In rettangolo $ABCD$, $AB=8$ e $BC=20$. $P$ sia un punto su $AD$ tale che $\angle BPC=90^{\circ }$. Se $r_1$, $r_2$, $r_3$ sono i raggi degli incircoli dei triangoli $APB$, $BPC$ e $CPD$, qual è il valore di $r_1+r_2+r_3$?

Risposta: 8 src_prmo_2015_b__Q12

Each man danced with 4 women, each woman with 3 men; 9 men; count women

At a party, each man danced with exactly four women and each woman danced with exactly three men. Nine men attended the party. How many women attended the party?

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Ogni uomo ballava con 4 donne, ogni donna con 3 uomini; 9 uomini; contare donne*

In una festa, ogni uomo ballava con esattamente quattro donne e ogni donna ballava con esattamente tre uomini. Nove uomini hanno partecipato alla festa. Quante donne hanno partecipato alla festa?

Risposta: 12 src_prmo_2015_b__Q13

3^x+2^x=985 and 3^y-2^y=473; find xy

If $3^x+2^x=985$ and $3^y-2^y=473$, what is the value of $xy$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 48 Fonte: apri PDF

3^x+2^x=985 e 3^y-2^y=473; trovare xy

Se $3^x+2^x=985$ e $3^y-2^y=473$, qual è il valore di $xy$?

Risposta: 48 src_prmo_2015_b__Q14

Largest integer product of 3 distinct primes x,y,z equal to digit counts

Let $n$ be the largest integer that is the product of exactly 3 distinct prime numbers, $x$, $y$ and $z$, where $x$, $y$ and $z$ are the number of tens and units digits.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Il più piccolo prodotto di 3 numeri primi distinti x,y,z uguale al numero di numeri *

Che $n$ sia il numero intero più grande che è il prodotto di esattamente 3 numeri primi distinti, $x$, $y$ e $z$, dove $x$, $y$ e $z$ sono il numero di decine e di cifre unità.

src_prmo_2015_b__Q15

Acute triangle midpoints D,E,F; angle conditions; find angle ADF

In acute-angled triangle $ABC$, let $D$ be the midpoint of $BC$. Let $E$ be the midpoint of $AC$. Let $F$ be the midpoint of $AB$. Suppose $\angle BAE=40^{\circ }$. If $\angle DAE=\angle DFE$, what is the magnitude of $\angle ADF$ in degrees?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 40 Fonte: apri PDF

Punti medi di un triangolo acuto D,E,F; condizioni di angolo; angolo di ricerca ADF

Nel triangolo a angolo acuto $ABC$, $D$ deve essere il punto medio di $BC$. $E$ sia il punto medio di $AC$. $F$ sia il punto medio di $AB$. Supponiamo $\angle BAE=40^{\circ }$. Se $\angle DAE=\angle DFE$, qual è la magnitudine di $\angle ADF$ in gradi?

Risposta: 40 src_prmo_2015_b__Q16

Expression P with a+b+c=0; find P

Let $a$, $b$, $c$ be such that $a+b+c=0$ and $P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}$ is defined. What is the value of $P$?

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Espressione P con a+b+c=0; trovare P

Che $a$, $b$, $c$ siano tali da definire $a+b+c=0$ e $P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}$. Qual è il valore di $P$?

Risposta: 1 src_prmo_2015_b__Q17

Subset of {1,…,100} with no two elements summing to 125; max size

A subset $B$ of the set of first 100 positive integers has the property that no two elements of $B$ sum to 125. What is the maximum possible number of elements in $B$?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 62 Fonte: apri PDF

Sottoinsieme di {1,…,100} senza due elementi sommati a 125; dimensione massima

Un sottogruppo $B$ dell’insieme dei primi 100 interi positivi ha la proprietà che non due elementi di $B$ sommano a 125. Qual è il numero massimo possibile di elementi in $B$?

Risposta: 62 src_prmo_2015_b__Q18

Four consecutive decreasing digits; sum of remainders mod 37

The digits of a positive integer $n$ are four consecutive integers in decreasing order when read from left to right. What is the sum of the possible remainders when $n$ is divided by 37?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 217 Fonte: apri PDF

Quattro cifre decrescenti consecutive; somma dei rimanenti mod 37

Le cifre di un intero positivo $n$ sono quattro numeri interi consecutivi in ordine decrescente quando vengono letti da sinistra a destra. Qual è la somma dei possibili rimanenti quando $n$ è diviso per 37?

Risposta: 217 src_prmo_2015_b__Q19

Circle omega inside Omega tangent at P; diameter XY tangent to omega; YZ=2PZ; find angle PYX

The circle $\omega$ touches the circle $\Omega$ internally at $P$. The centre $O$ of $\Omega$ is outside $\omega$. Let $XY$ be a diameter of $\Omega$ which is also tangent to $\omega$. Assume $PY>PX$. Let $PY$ intersect $\omega$ at $Z$. If $YZ=2PZ$, what is the magnitude of $\angle PYX$ in degrees?

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 15 Fonte: apri PDF

Circolo omega all’interno di Omega tangente a P; diametro XY tangente a omega; YZ=2PZ; angolo di ricerca PYX

Il cerchio $\omega$ tocca internamente il cerchio $\Omega$ a $P$. Il centro $O$ di $\Omega$ si trova fuori di $\omega$. Il diametro $XY$ deve essere di $\Omega$ che è anche tangente a $\omega$. Supponiamo $PY>PX$. Lasciate che $PY$ si incroci $\omega$ a $Z$. Se $YZ=2PZ$, qual è la magnitudine di $\angle PYX$ in gradi?

Risposta: 15 src_prmo_2015_b__Q20