Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO) 2017

Count positive integers <1000 with digit sum divisible by 7 and divisible by 3

How many positive integers less than 1000 have the property that the sum of the digits of each such number is divisible by 7 and the number itself is divisible by 3?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare interi positivi <1000 con somma digitali divisibile per 7 e divisibile per 3

Quanti numeri interi positivi inferiori a 1000 hanno la proprietà che la somma delle cifre di ciascun tale numero è divisibile per 7 e il numero stesso è divisibile per 3?

src_prmo_2017__Q01

Find floor(a+b) given two radical equations in positive reals a,b

Suppose $a,b$ are positive real numbers such that $a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=183$, $a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=182$. Find $\lfloor (a+b)\rfloor$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il piano a+b) dato due equazioni radicali nei reali positivi a,b

Supponiamo che $a,b$ siano numeri reali positivi come $a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=183$, $a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=182$. Trova $\lfloor (a+b)\rfloor$.

src_prmo_2017__Q02

Days team B works alone to finish job after A starts, B joins, then A withdraws

A contractor has two teams of workers: team $A$ and team $B$. Team $A$ can complete a job in 12 days and team $B$ can do the same job in 36 days. Team $A$ starts working on the job and team $B$ joins team $A$ after four days. Team $A$ withdraws after two more days. For how many more days should team $B$ work to complete the job?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

I giorni la squadra B lavora da sola per finire il lavoro dopo che A inizia, B si unisce, poi A si ritira

Un appaltatore ha due squadre di lavoratori: team $A$ e team $B$. Il team $A$ può completare un lavoro in 12 giorni e il team $B$ può svolgere lo stesso lavoro in 36 giorni. Il team $A$ inizia a lavorare sul lavoro e il team $B$ si unisce al team $A$ dopo quattro giorni. Il team $A$ si ritira dopo altri due giorni. Per quante altre giornate il team $B$ deve lavorare per completare il lavoro?

src_prmo_2017__Q03

Smallest a+b for negative-integer roots of product of two quadratics

Let $a,b$ be integers such that all the roots of the equation $(x^2+ax+20)(x^2+17x+b)=0$ are negative integers. What is the smallest possible value of $a+b$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Migliore a+b per le radici di numeri interi negativi del prodotto di due quadratici

Lasciate che $a,b$ siano integri in modo tale che tutte le radici dell’equazione $(x^2+ax+20)(x^2+17x+b)=0$ siano integri negativi. Qual è il minimo valore possibile di $a+b$?

src_prmo_2017__Q04

Find n such that u^40 = v^n = w^60 with u,v,w in geometric progression

Let $u,v,w$ be real numbers in geometric progression such that $u>v>w$. Suppose $u^{40}=v^n=w^{60}$. Find the value of $n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca n tale che u^40 = v^n = w^60 con u,v,w in progressione geometrica

$u,v,w$ siano numeri reali in progressione geometrica in modo tale che $u>v>w$. Supponiamo $u^{40}=v^n=w^{60}$. Trova il valore di $n$.

src_prmo_2017__Q05

Find q-p where sum of 1/i(i+1)(i+2) from 1 to 10 equals p/q in lowest terms

If the sum ${\sum }_{i=1}^{10}\frac{1}{i(i+1)(i+2)}$ is written in its lowest terms as $\frac{p}{q}$, find the value of $q-p$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca q-p in cui la somma di 1/i(i+1)(i+2) da 1 a 10 è uguale a p/q in termini più bassi

Se la somma ${\sum }_{i=1}^{10}\frac{1}{i(i+1)(i+2)}$ è scritta in termini più bassi come $\frac{p}{q}$, si trova il valore di $q-p$.

src_prmo_2017__Q06

Find smallest positive integer n with given floor/fractional part condition

Find the smallest positive integer $n$ such that $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il più piccolo intero positivo n con determinata condizione di pavimento/parti frazionarie

Trova il numero intero positivo più piccolo $n$ tale che $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}$.

src_prmo_2017__Q07

Number of ways to spend exactly Rs.1000 on pens (Rs.11) and notebooks (Rs.13)

A pen costs $\text{Rs.}11$ and a notebook costs $\text{Rs.}13$. Find the number of ways a person can spend exactly $\text{Rs.}1000$ to buy pens and notebooks.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Numero di modi per spendere esattamente 1000 rupe per penne (Rs.11) e notebook (Rs.13) *

Una penna costa $\text{Rs.}11$ e un notebook $\text{Rs.}13$. Trova il numero di modi in cui una persona può spendere esattamente $\text{Rs.}1000$ per acquistare penne e notebook.

src_prmo_2017__Q08

Ways to start from city A and return after visiting some of 5 fully-connected cities

There are five cities $A,B,C,D,E$ on a certain island. Each city is connected to every other city by a road. In how many ways can a person starting from city $A$ come back to $A$ after visiting some cities without visiting a city more than once and without taking the same road more than once? (The order in which he visits the cities also matters: e.g., the routes $A\to B\to C\to A$ and $A\to C\to B\to A$ are different.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I percorsi per partire dalla città A e tornare dopo aver visitato alcune delle 5 città interconnesse

Ci sono cinque città su una determinata isola. Ogni città è collegata a tutte le altre città da una strada. In quanti modi una persona che parte dalla città $A$ può tornare a $A$ dopo aver visitato alcune città senza visitare una città più di una volta e senza prendere la stessa strada più di una volta? (Il ordine in cui visita le città è importante anche: ad esempio, le rotte $A\to B\to C\to A$ e $A\to C\to B\to A$ sono diverse.)

src_prmo_2017__Q09

Ways to place 4 guests in 8 corridor rooms with no two adjacent or opposite

There are eight rooms on the first floor of a hotel, with four rooms on each side of the corridor, symmetrically situated (that is each room is exactly opposite to one other room). Four guests have to be accommodated in four of the eight rooms (that is, one in each) such that no two guests are in adjacent rooms or in opposite rooms. In how many ways can the guests be accommodated?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Medi per collocare 4 ospiti in 8 camere corridoio senza due adiacenti o opposti

Nel primo piano dell’hotel ci sono otto camere, con quattro camere a ciascun lato del corridoio, situate simmetricamente (cioè ciascuna stanza è esattamente opposta ad un’altra). Quattro ospiti devono essere ospitati in quattro delle otto camere (cioè una in ciascuna) in modo tale che non ci siano due ospiti nelle camere adiacenti o opposte. In quanti modi si possono ospitare gli ospiti?

src_prmo_2017__Q10

Least natural number n such that f(npi+x)=f(x) for all real x*

Let $f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{3x}{10}$ for all real $x$. Find the least natural number $n$ such that $f(n\pi +x)=f(x)$ for all real $x$.

Topic: Trigonometria, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nombre naturale minimo n tale che f(npi+x)=f(x) per tutte le x reali*

Let $f(x)=\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{3x}{10}$ per tutti i $x$ reali. Trova il numero naturale minimo $n$ tale da $f(n\pi +x)=f(x)$ per tutti i $x$ reali.

src_prmo_2017__Q11

Total students given boys:girls = 1:3 and present boys equal square of present girls

In a class, the total numbers of boys and girls are in the ratio $1:3$. On one day it was found that 8 boys and 14 girls were absent from the class, and that the number of boys was the square of the number of girls. What is the total number of students in the class?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Total di studenti dati a ragazzi: ragazze = 1:3 e ragazzi presenti uguali al quadrato delle ragazze presenti

In una classe, il numero totale di ragazzi e ragazze è nel rapporto $1:3$. Un giorno si scoprì che 8 ragazzi e 14 ragazze erano assenti dalla classe, e che il numero di ragazzi era il quadrato del numero di ragazze. Qual è il numero totale degli studenti della classe?

src_prmo_2017__Q12

Find AB in rectangle ABCD with E midpoint of AB and two perpendicularity conditions

In a rectangle $ABCD$, $E$ is the midpoint of $AB$; $F$ is a point on $AC$ such that $BF$ is perpendicular to $AC$; and $FE$ is perpendicular to $BD$. Suppose $BC=8\sqrt{3}$. Find $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca AB nel rettangolo ABCD con punto medio E di AB e due condizioni di perpendicularità

In un rettangolo $ABCD$, $E$ è il punto medio di $AB$; $F$ è un punto su $AC$ tale che $BF$ sia perpendicolare a $AC$; e $FE$ sia perpendicolare a $BD$. Supponiamo $BC=8\sqrt{3}$. Trova $AB$.

src_prmo_2017__Q13

Least positive integer n such that x^n > 100 where {x}, floor(x), x are in GP

Suppose $x$ is a positive real number such that $\{x\}$, $\lfloor x\rfloor$ and $x$ are in a geometric progression. Find the least positive integer $n$ such that $x^n>100$. (Here $\lfloor x\rfloor$ denotes the integer part of $x$ and $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il numero intero positivo minimo n tale che x^n > 100 dove {x}, piano(x), x sono in GP

Supponiamo che $x$ sia un numero reale positivo tale che $\{x\}$, $\lfloor x\rfloor$ e $x$ siano in progressione geometrica. Trova il numero intero meno positivo $n$ tale da $x^n>100$. (Qui $\lfloor x\rfloor$ indica la parte integrale di $x$ e $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.)

src_prmo_2017__Q14

Maximum sum of two removed integers from 1..n given average of rest is 17

Integers $1,2,3,\dots ,n$, where $n>2$, are written on a board. Two numbers $m,k$ such that $1<m<n,1<k<n$ are removed and the average of the remaining numbers is found to be 17. What is the maximum sum of the two removed numbers?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La somma massima di due integri rimossi da 1..n data media di riposo è di 17

Gli integri $1,2,3,\dots ,n$, dove $n>2$, sono scritti su una lavagna. Due numeri $m,k$ in modo tale che $1<m<n,1<k<n$ siano rimossi e la media dei numeri rimanenti si ritenga a 17. Qual è la somma massima dei due numeri rimossi?

src_prmo_2017__Q15

Find the middle term of five distinct 2-digit numbers in geometric progression

Five distinct 2-digit numbers are in a geometric progression. Find the middle term.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova il termine medio di cinque numeri a 2 cifre distinte in progressione geometrica

Cinque numeri a due cifre distinte sono in una progressione geometrica. Trova il termine medio.

src_prmo_2017__Q16

Find semi-perimeter of triangle with altitudes 10, 12, 15

Suppose the altitudes of a triangle are 10, 12, and 15. What is its semi-perimeter?

Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il semiperimetro del triangolo con altitudini 10, 12, 15

Supponiamo che le altitudini di un triangolo siano 10, 12 e 15. Qual è il suo semiperimetro?

src_prmo_2017__Q17

Find x^2+y^2+z^2 given two quadratic constraints in x,y,z

If the real numbers $x,y,z$ are such that $x^2+4y^2+16z^2=48$ and $xy+4yz+2zx=24$, what is the value of $x^2+y^2+z^2$?

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova x^2+y^2+z^2 dati due vincoli quadratici in x,y,z

Se i numeri reali $x,y,z$ sono tali che $x^2+4y^2+16z^2=48$ e $xy+4yz+2zx=24$, qual è il valore di $x^2+y^2+z^2$?

src_prmo_2017__Q18

Find value of c given 1,2,3 are roots of x^4+x^2+c=0 (likely: find c)

Suppose $1,2,3$ are the roots of the equation $x^4+a{x}^2+bx=c$. Find the value of $c$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Il valore di ricerca di c dato 1,2,3 sono radici di x^4+x^2+c=0 (probabile: trovare c) *

Supponiamo che $1,2,3$ siano le radici dell’equazione $x^4+a{x}^2+bx=c$. Trova il valore di $c$.

src_prmo_2017__Q19

Count triples (a,b,c) of positive integers with a<b<c<10 and (b-a) divides c

What is the number of triples $(a,b,c)$ of positive integers such that (i) $a<b<c<10$ and (ii) $a,b,c$ are in arithmetic progression, and $b-a$ divides $c$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i tripli (a,b,c) di numeri interi positivi con a<b<c<10 e (b-a) divide c

Qual è il numero di triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi in modo che (i) $a<b<c<10$ e (ii) $a,b,c$ siano in progressione aritmetica e $b-a$ divida $c$?

src_prmo_2017__Q20

Count ordered triples (a,b,c) of positive integers with abc=108

Find the number of ordered triples $(a,b,c)$ of positive integers such that $abc=108$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i tripli ordinati (a,b,c) di numeri interi positivi con abc=108

Trova il numero di triples ordinati $(a,b,c)$ di enti interi positivi come $abc=108$.

src_prmo_2017__Q21

Maximum number of finite-area polygons formed by 10 pairwise non-parallel lines

Suppose in the plane 10 pairwise nonparallel lines intersect one another. What is the maximum possible number of polygons with finite area that 10 such lines can form?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Induzione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Nombre massimo di poligoni di area finita formati da 10 linee non parallele in coppia

Supponiamo che nel piano 10 linee non parallele in coppia si incrociano tra loro. Qual è il numero massimo possibile di poligoni con superficie finita che 10 linee possono formare?

src_prmo_2017__Q22

Largest prime p satisfying 7x^2 - 44x + 12 = p for some integer x

Suppose an integer $x$, a natural number $n$ and a prime number $p$ satisfy the equation $7x^2-44x+12=p$. Find the largest value of $p$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Primaria p più piccola soddisfacendo 7x^2 - 44x + 12 = p per un certo numero intero x

Supponiamo che un intero $x$, un numero naturale $n$ e un numero primo $p$ soddisfino l’equazione $7x^2-44x+12=p$. Trova il valore più grande di $p$.

src_prmo_2017__Q23

Find KL where three equal parallel cevians through interior point of triangle with sides 26,65,78

Let $P$ be an interior point of triangle $ABC$ whose side lengths are 26, 65, 78. The line through $P$ parallel to $BC$ meets $AB$ in $K$ and $AC$ in $L$. The line through $P$ parallel to $AB$ meets $CA$ in $S$ and $CB$ in $T$. The line through $P$ parallel to $CA$ meets $BC$ in $M$ and $BA$ in $N$. If $KL=MN=ST$, find $KL$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca KL dove tre ceviani paralleli uguali attraversano il punto interno del triangolo con lati 26,65,78

$P$ sia un punto interno del triangolo $ABC$ le cui lunghezze laterali sono 26, 65, 78. La linea attraverso $P$ parallela a $BC$ incontra $AB$ in $K$ e $AC$ in $L$. La linea attraverso $P$ parallela a $AB$ incontra $CA$ in $S$ e $CB$ in $T$. La linea attraverso $P$ parallela a $CA$ incontra $BC$ in $M$ e $BA$ in $N$. Se $KL=MN=ST$, trovare $KL$.

src_prmo_2017__Q24

Find area of triangle AEF given areas of triangles in rectangle ABCD

Let $ABCD$ be a rectangle and let $E$ and $F$ be points on $CD$ and $BC$ respectively such that $\text{area}(AEF)=9$, $\text{area}(CEF)=9$ and $\text{area}(ABF)=25$. What is the area of triangle $AEF$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ritrovare l’area del triangolo AEF dati aree dei triangoli nel rettangolo ABCD

Che $ABCD$ sia un rettangolo e che $E$ e $F$ siano punti rispettivamente su $CD$ e $BC$ in modo tale che $\text{area}(AEF)=9$, $\text{area}(CEF)=9$ e $\text{area}(ABF)=25$. Qual è l’area del triangolo $AEF$?

src_prmo_2017__Q25

Find m+n+k for area between two parallel chords AB=6, CD=8 in circle radius 5

Let $AB$ and $CD$ be two parallel chords in a circle with radius 5 such that the centre $O$ lies between these chords. Suppose $AB=6$, $CD=8$. Further suppose that the area of the part of the circle lying between the chords $AB$ and $CD$ is $\frac{m\pi +n}{k}$, where $m,n,k$ are positive integers with $\gcd (m,n,k)=1$. What is the value of $m+n+k$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca m+n+k per l’area tra due accordi paralleli AB=6, CD=8 in raggio circolare 5

Lasciate che $AB$ e $CD$ siano due accordi paralleli in un cerchio con raggio 5 in modo tale che il centro $O$ sia tra questi accordi. Supponiamo $AB=6$, $CD=8$. Supponiamo inoltre che l’area della parte del cerchio che si trova tra gli accordi $AB$ e $CD$ sia $\frac{m\pi +n}{k}$, dove $m,n,k$ sono interi positivi con $\gcd (m,n,k)=1$. Qual è il valore di $m+n+k$?

src_prmo_2017__Q26

Find radii of two circles given tangent and secant conditions

Let ${\Omega }_1$ be a circle with centre $O$ and let $AB$ be a diameter of ${\Omega }_1$. Let $P$ be a point on the segment $OB$ different from $O$. A circle ${\Omega }_2$ with centre $P$ passes through $O$. Tangents from $A$ to ${\Omega }_2$ touch it at the points $A_1$ and $B_1$ respectively. Suppose that $A_1{B}_1=5$, $AB=10$, and $OP=10$, find the radii of ${\Omega }_1$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca i raggi di due cerchi con condizioni di tangenza e di sezione

Il ${\Omega }_1$ deve essere un cerchio con centro $O$ e il $AB$ deve avere un diametro di ${\Omega }_1$. Il punto $P$ deve essere un punto del segmento $OB$ diverso da $O$. Un cerchio ${\Omega }_2$ con centro $P$ passa attraverso $O$. Le tangenti da $A$ a ${\Omega }_2$ lo toccano rispettivamente nei punti $A_1$ e $B_1$. Supponiamo che $A_1{B}_1=5$, $AB=10$ e $OP=10$, trovino i raggi di ${\Omega }_1$.

src_prmo_2017__Q27

Least p+q for primes p,q such that n^(3pq)-n is multiple of 3pq for all positive integers n

Let $p,q$ be prime numbers such that $n^{3pq}-n$ is a multiple of $3pq$ for all positive integers $n$. Find the least possible value of $p+q$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimo p+q per i numeri primi p,q tale che n^(3pq) -n sia multiplo di 3pq per tutti gli integri positivi n

$p,q$ siano numeri primi in modo tale che $n^{3pq}-n$ sia un multiple di $3pq$ per tutti gli integri positivi $n$. Trova il minimo valore possibile di $p+q$.

src_prmo_2017__Q28

Largest h_n for n<100 where h_n = gcd(n!+1, (n+1)!)

For each positive integer $n$, consider the highest common factor $h_n$ of the two numbers $n!+1$ and $(n+1)!$. For $n<100$, find the largest value of $h_n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La più piccola h_n per n<100 dove h_n = gcd(n!+1, (n+1)!)

Per ogni intero positivo $n$, si considera il più alto fattore comune $h_n$ dei due numeri $n!+1$ e $(n+1)!$. Per $n<100$, trovare il valore più grande di $h_n$.

src_prmo_2017__Q29

Nearest integer to square root of max trapezium area given two triangle-product conditions

The four triangles obtained by drawing the diagonals $AC$ and $BD$ of a trapezium $ABCD$. The product of the areas of these triangles, taken two at a time, are computed. If among the six products two are 1296 and 576, determine the square root of the maximum possible area of the trapezium to the nearest integer.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il numero intero più vicino alla radice quadrata della superficie massima del trapezio dato due condizioni di prodotto triangolare

I quattro triangoli ottenuti disegnando le diagonali $AC$ e $BD$ di un trapezio $ABCD$. Si calcola il prodotto delle aree di questi triangoli, presi due alla volta. Se tra i sei prodotti due sono 1296 e 576, determinare la radice quadrata dell’area massima possibile del trapezio al numero intero più vicino.

src_prmo_2017__Q30