Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO) 2018

Last page number of 3-volume book, find largest prime factor

A book is published in three volumes, the pages being numbered from 1 onwards. The page numbers are continued from the first volume to the second volume to the third. The number of pages in the second volume is 50 more than that in the first volume, and the number pages in the third volume is one and a half times that in the second. The sum of the page numbers on the first pages of the three volumes is 1709. If $n$ is the last page number, what is the largest prime factor of $n$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 17 Fonte: apri PDF

L’ultimo numero di pagina del libro di 3 volumi, trova il più grande fattore primo

Un libro viene pubblicato in tre volumi, con le pagine numerate da 1 in poi. I numeri delle pagine sono proseguiti dal primo volume al secondo volume al terzo. Il numero di pagine del secondo volume è 50 volte superiore a quello del primo volume e il numero di pagine del terzo volume è uno e mezzo volte superiore al secondo. La somma dei numeri delle pagine delle prime pagine dei tre volumi è di 1709. Se $n$ è l’ultimo numero di pagina, qual è il più grande fattore primo di $n$?

Risposta: 17 src_prmo_2018__Q01

Incircle radius in quadrilateral ABCD, find integer closest to r

In a quadrilateral $ABCD$, it is given that $AB=AD=13$, $BC=CD=20$, $BD=24$. If $r$ is the radius of the circle inscribable in the quadrilateral, then what is the integer closest to $r$?

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Incircolare il raggio in quadrilaterale ABCD, trovare un numero intero più vicino a r

In un quadrilaterale $ABCD$, è dato che $AB=AD=13$, $BC=CD=20$, $BD=24$. Se $r$ è il raggio del cerchio iscrivibile nel quadrilaterale, qual è il numero intero più vicino a $r$?

Risposta: 8 src_prmo_2018__Q02

Count 6-digit numbers of form abccba with b odd and divisible by 7

Consider all 6-digit numbers of the form $abccba$ where $b$ is odd. Determine the number of all such 6-digit numbers that are divisible by 7.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 70 Fonte: apri PDF

Contare i numeri a 6 cifre della forma abccba con b pari e divisibile per 7

Considerare tutti i numeri a 6 cifre del modulo $abccba$, dove $b$ è pari. Determinare il numero di tutti i numeri a 6 cifre divisibili per 7.

Risposta: 70 src_prmo_2018__Q03

Find all valid bases b>=10 for equation 166x56=8590

The equation $166\times 56=8590$ is valid in some base $b\ge 10$ (that is, $1,6,6,5,8,9,0$ are digits in base $b$ in the above equation). Find the sum of all possible values of $b\ge 10$ satisfying the equation.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le basi valide b>=10 per l’equazione 166x56=8590

L’equazione $166\times 56=8590$ è valida in alcune basi $b\ge 10$ (cioè $1,6,6,5,8,9,0$ sono i numeri di base $b$ nell’equazione di cui sopra). Trova la somma di tutti i valori possibili di $b\ge 10$ che soddisfano l’equazione.

Risposta: 12 src_prmo_2018__Q04

Trapezium ABCD with incircle touching AB at Q and CD at P, find PQ

Let $ABCD$ be a trapezium in which $AB\parallel CD$ and $AD\perp AB$. Suppose $ABCD$ has an incircle which touches $AB$ at $Q$ and $CD$ at $P$. Given that $PC=36$ and $QB=49$, find $PQ$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 84 Fonte: apri PDF

Trapezio ABCD con incircolo che tocca AB a Q e CD a P, trovare PQ

Il $ABCD$ deve essere un trapezio in cui $AB\parallel CD$ e $AD\perp AB$. Supponiamo che $ABCD$ abbia un incircolo che tocchi $AB$ a $Q$ e $CD$ a $P$. Poiché $PC=36$ e $QB=49$, trovare $PQ$.

Risposta: 84 src_prmo_2018__Q05

Integers a,b,c with a+b-c=1 and a^2+b^2-c^2=-1, find sum of all possible values of a^2+b^2+c^2

Integers $a,b,c$ satisfy $a+b-c=1$ and $a^2+b^2-c^2=-1$. What is the sum of all possible values of $a^2+b^2+c^2$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 18 Fonte: apri PDF

Integri a,b,c con a+b-c=1 e a^2+b^2-c^2=-1, trovi la somma di tutti i valori possibili di a^2+b^2+c^2

Gli integri $a,b,c$ soddisfano $a+b-c=1$ e $a^2+b^2-c^2=-1$. Qual è la somma di tutti i possibili valori di $a^2+b^2+c^2$?

Risposta: 18 src_prmo_2018__Q06

Point P inside regular hexagon at distances 8,8,16 from three consecutive vertices, find integer closest to circumradius

A point $P$ in the interior of a regular hexagon is at distances $8,8,16$ units from three consecutive vertices of the hexagon, respectively. If $r$ is the radius of the circumscribed circle of the hexagon, what is the integer closest to $r$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 14 Fonte: apri PDF

Punto P all’interno dell’esagono regolare a distanze di 8,8,16 da tre vertici consecutivi, trovare il numero intero più vicino al circondario

Un punto $P$ all’interno di un esagono regolare si trova a distanze $8,8,16$ unità da tre vertici consecutivi dell’esagono, rispettivamente. Se $r$ è il raggio del cerchio circonscritto dell’esagono, quale è il numero intero più vicino a $r$?

Risposta: 14 src_prmo_2018__Q07

Chord AB, point C on circle with angle ABC=30, point D on AB with angle DCO=angle OCB=20, find angle CDO

Let $AB$ be a chord of a circle with centre $O$. Let $C$ be a point on the circle such that $\angle ABC=30^{\circ }$ and $O$ lies inside the triangle $ABC$. Let $D$ be a point on $AB$ such that $\angle DCO=\angle OCB=20^{\circ }$. Find the measure of $\angle CDO$ in degrees.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 80 Fonte: apri PDF

Cordo AB, punto C su un cerchio con angolo ABC=30, punto D su AB con angolo DCO=angolo OCB=20, trovare angolo CDO

Che $AB$ sia un’accordazione di un cerchio con centro $O$. Il $C$ deve essere un punto del cerchio tale che $\angle ABC=30^{\circ }$ e $O$ si trovino all’interno del triangolo $ABC$. $D$ sia un punto su $AB$ tale che $\angle DCO=\angle OCB=20^{\circ }$. Trova la misura di $\angle CDO$ in gradi.

Risposta: 80 src_prmo_2018__Q08

Integers a,b where a+b is root of x^2+ax+b=0, maximum value of b^2

Suppose $a,b$ are integers and $a+b$ is a root of $x^2+ax+b=0$. What is the maximum possible value of $b^2$?

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 16 Fonte: apri PDF

Integri a,b dove a+b è radice di x^2+ax+b=0, valore massimo di b^2

Supponiamo che $a,b$ siano numeri interi e $a+b$ sia una radice di $x^2+ax+b=0$. Qual è il valore massimo possibile di $b^2$?

Risposta: 16 src_prmo_2018__Q09

Perpendicular medians in triangle, median from A is 30, find (BC^2+CA^2+AB^2)/100

In a triangle $ABC$, the median from $B$ to $CA$ is perpendicular to the median from $C$ to $AB$. If the median from $A$ to $BC$ is 30, determine $(B{C}^2+C{A}^2+A{B}^2)/100$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 24 Fonte: apri PDF

Mediani perpendicolari nel triangolo, mediana da A è 30, trovare (BC^2+CA^2+AB^2)/100

In un triangolo $ABC$, la media da $B$ a $CA$ è perpendicolare alla media da $C$ a $AB$. Se la media da $A$ a $BC$ è 30, determinare $(B{C}^2+C{A}^2+A{B}^2)/100$.

Risposta: 24 src_prmo_2018__Q10

Tea cups: ways to select 2 without handle and 3 with handle equals 1200, max total cups

There are several tea cups in the kitchen, some with handles and the others without handles. The number of ways of selecting two cups without a handle and three with a handle is exactly 1200. What is the maximum possible number of cups in the kitchen?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 29 Fonte: apri PDF

Tazze da tè: modi per selezionare 2 senza maniglia e 3 con maniglia = 1200, massimo totale tazze

Ci sono diverse tazze di tè in cucina, alcune con maniglie e le altre senza maniglie. Il numero di modi per scegliere due tazze senza manipo e tre con manipo è esattamente 1200. Qual è il numero massimo possibile di tazze in cucina?

Risposta: 29 src_prmo_2018__Q11

Count 8-tuples in {1,-1}^8 with weighted sum divisible by 3

Determine the number of 8-tuples $({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_8)$ such that ${ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots {ϵ}_8\in \{1,-1\}$ and ${ϵ}_1+2{ϵ}_2+3{ϵ}_3+\cdots +8{ϵ}_8$ is a multiple of 3.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 88 Fonte: apri PDF

Contare 8 tupli in {1,-1}^8 con somma ponderata divisibile per 3

Determinare il numero di 8 doppi $({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_8)$ in modo tale che ${ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots {ϵ}_8\in \{1,-1\}$ e ${ϵ}_1+2{ϵ}_2+3{ϵ}_3+\cdots +8{ϵ}_8$ siano multipli di 3.

Risposta: 88 src_prmo_2018__Q12

Right-angled triangle at A, altitude and angle bisector from A have lengths 3 and 4, find median length

In a triangle $ABC$, right-angled at $A$, the altitude through $A$ and the internal bisector of $\angle A$ have lengths 3 and 4, respectively. Find the length of the median through $A$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un triangolo rettangolo a A, l’altitudine e l’angolo bisector da A hanno lunghezze 3 e 4, trovare la lunghezza media

In un triangolo $ABC$, angolato a destra a $A$, l’altitudine attraverso $A$ e il bisettore interno di $\angle A$ hanno lunghezze 3 e 4, rispettivamente. Trova la lunghezza della media attraverso $A$.

src_prmo_2018__Q13

Products of cosines, find integer nearest to (2/7)log_2(y/x)

If $x=\cos 1^{\circ }\cos 2^{\circ }\cos 3^{\circ }\cdots \cos 89^{\circ }$ and $y=\cos 2^{\circ }\cos 6^{\circ }\cos 10^{\circ }\cdots \cos 86^{\circ }$, then what is the integer nearest to $\frac{2}{7}{\log }_2(y/x)$?

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Telescoping, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 19 Fonte: apri PDF

*Prodotti di cosini, trovare un numero intero più vicino a (2/7)log_2(y/x) *

Se $x=\cos 1^{\circ }\cos 2^{\circ }\cos 3^{\circ }\cdots \cos 89^{\circ }$ e $y=\cos 2^{\circ }\cos 6^{\circ }\cos 10^{\circ }\cdots \cos 86^{\circ }$, quale è il numero intero più vicino a $\frac{2}{7}{\log }_2(y/x)$?

Risposta: 19 src_prmo_2018__Q14

Natural numbers a,b with 2a-b, a-2b, a+b all distinct perfect squares, find minimum b

Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $2a-b$, $a-2b$ and $a+b$ are all distinct squares. What is the smallest possible value of $b$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 20 Fonte: apri PDF

Numeri naturali a,b con 2a-b, a-2b, a+b tutti quadrati perfetti distinti, trovare minimo b

Che $a$ e $b$ siano numeri naturali in modo tale che $2a-b$, $a-2b$ e $a+b$ siano tutti quadrati distinti. Qual è il minimo valore possibile di $b$?

Risposta: 20 src_prmo_2018__Q15

Difference of two double sums over pairs with odd vs even sum

What is the value of ${\sum }_{\begin{array}{c}1\le i<j\le 10\\ i+j=\text{odd}\end{array}}(i+j)-{\sum }_{\begin{array}{c}1\le i<j\le 10\\ i+j=\text{even}\end{array}}(i+j)?$

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 55 Fonte: apri PDF

Differenza di due doppie somme su coppie con somma pari contro pari

Qual è il valore di ${\sum }_{\begin{array}{c}1\le i<j\le 10\\ i+j=\text{odd}\end{array}}(i+j)-{\sum }_{\begin{array}{c}1\le i<j\le 10\\ i+j=\text{even}\end{array}}(i+j)?$

Risposta: 55 src_prmo_2018__Q16

Two triangles sharing angle with given sides, find AC+DF

Triangles $ABC$ and $DEF$ are such that $\angle A=\angle D$, $AB=DE=17$, $BC=EF=10$ and $AC-DF=12$. What is $AC+DF$?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 30 Fonte: apri PDF

Due triangoli che condividono angolo con i lati dati, trovare AC+DF

I triangoli $ABC$ e $DEF$ sono tali da $\angle A=\angle D$, $AB=DE=17$, $BC=EF=10$ e $AC-DF=12$. Che cos’ è $AC+DF$?

Risposta: 30 src_prmo_2018__Q17

Integers a,b,c>=4 not all equal satisfying 4abc=(a+3)(b+3)(c+3), find a+b+c

If $a,b,c\ge 4$ are integers, not all equal, and $4abc=(a+3)(b+3)(c+3)$, then what is the value of $a+b+c$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 16 Fonte: apri PDF

Integri a,b,c>=4 non tutti uguali soddisfacendo 4abc=(a+3)(b+3)(c+3), trovare a+b+c

Se $a,b,c\ge 4$ sono numeri interi, non tutti uguali, e $4abc=(a+3)(b+3)(c+3)$, qual è il valore di $a+b+c$?

Risposta: 16 src_prmo_2018__Q18

N = 6+66+666+…+666…6 (100 sixes), count occurrences of digit 7 in N

Let $N=6+66+666+\cdots +666\cdots 66$, where there are hundred 6’s in the last term in the sum. How many times does the digit 7 occur in the number $N$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 99 Fonte: apri PDF

N = 6+66+666+…+666…6 (100 sei), conteggio delle frequenze della cifra 7 in N

Lasciate $N=6+66+666+\cdots +666\cdots 66$, dove ci sono centinaia di 6 nell’ultimo termine nella somma. Quante volte la cifra 7 si verifica nel numero $N$?

Risposta: 99 src_prmo_2018__Q19

Sum of positive integers n whose digit product equals n^2-15n-27

Determine the sum of all possible positive integers $n$, the product of whose digits equals $n^2-15n-27$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 17 Fonte: apri PDF

Summa di numeri interi positivi n il cui prodotto digitali è uguale a n^2-15n-27

Determinare la somma di tutti i possibili integri positivi $n$, il prodotto dei quali è uguale a $n^2-15n-27$.

Risposta: 17 src_prmo_2018__Q20

Orthocentre H, centroids G1 G2 G3 of HBC HCA HAB form triangle of area 7, find area of ABC

Let $ABC$ be an acute-angled triangle and let $H$ be its orthocentre. Let $G_1$, $G_2$ and $G_3$ be the centroids of the triangles $HBC$, $HCA$ and $HAB$, respectively. If the area of triangle $G_1{G}_2{G}_3$ is 7 units, what is the area of triangle $ABC$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 63 Fonte: apri PDF

Orthocentro H, centroidi G1 G2 G3 di HBC HCA HAB formare un triangolo di area 7, trovare area di ABC

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo a angolo acuto e che $H$ sia il suo ortocentro. I centriodi dei triangoli $G_1$, $G_2$ e $G_3$ siano rispettivamente $HBC$, $HCA$ e $HAB$. Se l’area del triangolo $G_1{G}_2{G}_3$ è di 7 unità, qual è l’area del triangolo $ABC$?

Risposta: 63 src_prmo_2018__Q21

Count good positive integers k that partition {1,…,20} into subsets each summing to k

A positive integer $k$ is said to be \textit{good} if there exists a partition of $\{1,2,3,\dots ,20\}$ in to disjoint proper subsets such that the sum of the numbers in each subset of the partition is $k$. How many \textit{good} numbers are there?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Contare buoni interi positivi k che la partizione {1,…,20} in sottoinsiemi ogni sommare a k

Un intero positivo $k$ si dice essere \textit{good} se esiste una partizione di $\{1,2,3,\dots ,20\}$ per disgiungere i propri sottoinsiemi in modo tale che la somma dei numeri in ogni sottoinsieme della partizione sia $k$. Quanti numeri ci sono?

Risposta: 6 src_prmo_2018__Q22

Largest n for Cauchy-Schwarz-type inequality with denominators b/29+c/31 etc.

What is the largest positive integer $n$ such that $\frac{a^2}{\frac{b}{29}+\frac{c}{31}}+\frac{b^2}{\frac{c}{29}+\frac{a}{31}}+\frac{c^2}{\frac{a}{29}+\frac{b}{31}}\ge n(a+b+c)$ holds for all positive real numbers $a,b,c$?

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 14 Fonte: apri PDF

La più grande n per le disuguaglianze di tipo Cauchy-Schwarz con i denominatori b/29+c/31 ecc..

Qual è il numero intero positivo più grande $n$ tale che $\frac{a^2}{\frac{b}{29}+\frac{c}{31}}+\frac{b^2}{\frac{c}{29}+\frac{a}{31}}+\frac{c^2}{\frac{a}{29}+\frac{b}{31}}\ge n(a+b+c)$ tenga per tutti i numeri reali positivi $a,b,c$?

Risposta: 14 src_prmo_2018__Q23

Count non-similar triangles with all integer angles in degrees, find N/100

If $N$ is the number of triangles of different shapes (i.e., not similar) whose angles are all integers (in degrees), what is $N/100$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 27 Fonte: apri PDF

Contare i triangoli non simili con tutti gli angoli interi in gradi, trovare N/100

Se $N$ è il numero di triangoli di forme diverse (cioè non simili) i cui angoli sono tutti enti (in gradi), qual è $N/100$?

Risposta: 27 src_prmo_2018__Q24

Smallest T with remainders from given sets when divided by 11,13,15, find sum of squares of digits

Let $T$ be the smallest positive integer which, when divided by $11,13,15$ leaves remainders in the sets $\{7,8,9\}$, $\{1,2,3\}$, $\{4,5,6\}$ respectively. What is the sum of the squares of the digits of $T$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

T più piccolo con i rimanenti di un dato insieme diviso per 11,13,15, trovare la somma dei quadrati di cifre

$T$ sia il numero intero positivo più piccolo che, quando diviso da $11,13,15$ lascia i rimanenti rispettivamente nei set $\{7,8,9\}$, $\{1,2,3\}$ e $\{4,5,6\}$. Qual è la somma dei quadrati delle cifre di $T$?

src_prmo_2018__Q25

Ways to choose 60 unit squares from 11x11 board with no two sharing a side

What is the number of ways in which one can choose 60 unit squares from a $11\times 11$ chessboard such that no two chosen squares have a side in common?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Medi per scegliere 60 quadrati di unità da tavola 11x11 senza due che condividono un lato

Qual è il numero di modi in cui si possono scegliere 60 quadrati di unità da una scacchiera $11\times 11$ in modo tale che due quadrati scelti non abbiano un lato in comune?

src_prmo_2018__Q26

Colour 4x4 chessboard red/blue so each row and column has exactly 2 red and 2 blue, count ways

What is the number of ways in which one can colour the squares of a $4\times 4$ chessboard with colours red and blue such that each row as well as each column has exactly two red squares and two blue squares?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 90 Fonte: apri PDF

Colour 4x4 scacchi rosso/blu così ogni riga e colonna ha esattamente 2 rosso e 2 blu, contare modi

Qual è il numero di modi in cui si possono colorare i quadrati di un scacchi $4\times 4$ con colori rosso e blu in modo tale che ogni riga e ogni colonna abbiano esattamente due quadrati rossi e due quadrati blu?

Risposta: 90 src_prmo_2018__Q27

Distribute 8 distinct chocolates among 3 children, each gets at least one with all different counts, find digit sum of N

Let $N$ be the number of ways of distributing 8 chocolates of different brands among 3 children such that each child gets at least one chocolate, and no two children get the same number of chocolates. Find the sum of the digits of $N$.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF

Distribuire 8 cioccolatini distinti tra 3 bambini, ognuno ne ottiene almeno uno con tutti i numeri diversi, trovare la somma digitali di N*

Il numero di modi di distribuire 8 cioccolatini di diversi marchi tra 3 bambini è quello di $N$ in modo tale che ogni bambino riceva almeno un cioccolatino e che nessun bambino riceva lo stesso numero di cioccolatini. Trova la somma delle cifre di $N$.

Risposta: 9 src_prmo_2018__Q28

Point D on BC, incentres I1 I2 of ABD ACD, angle BI1E=60, find angle CI2F

Let $D$ be an interior point of the side $BC$ of a triangle $ABC$. Let $I_1$ and $I_2$ be the incentres of triangles $ABD$ and $ACD$ respectively. Let $A{I}_1$ and $A{I}_2$ meet $BC$ in $E$ and $F$ respectively. If $\angle B{I}_{1}E=60^{\circ }$, what is the measure of $\angle C{I}_{2}F$ in degrees?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 60 Fonte: apri PDF

Punto D su BC, incentri I1 I2 di ABD ACD, angolo BI1E=60, angolo CI2F

$D$ sia un punto interno del lato $BC$ di un triangolo $ABC$. Il punto di riferimento è il punto di riferimento di cui all’allegato I del presente regolamento. In $E$ e $F$, rispettivamente, $A{I}_1$ e $A{I}_2$ si incontrano $BC$. Se $\angle B{I}_{1}E=60^{\circ }$, qual è la misura di $\angle C{I}_{2}F$ in gradi?

Risposta: 60 src_prmo_2018__Q29

Polynomial with non-negative integer coefficients, P(1)=4 P(5)=136, find P(3)

Let $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ be a polynomial in which $a_i$ is a non-negative integer for each $i\in \{0,1,2,3,\cdots ,n\}$. If $P(1)=4$ and $P(5)=136$, what is the value of $P(3)$?

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: 34 Fonte: apri PDF

Polinomio con coefficienti interi non negativi, P(1)=4 P(5)=136, trovare P(3)

$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ sia un polinomio in cui $a_i$ è un intero non negativo per ogni $i\in \{0,1,2,3,\cdots ,n\}$. Se $P(1)=4$ e $P(5)=136$, qual è il valore di $P(3)$?

Risposta: 34 src_prmo_2018__Q30