Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO) 2019

Area removed from square to form regular octagon

From a square with sides of length 5, triangular pieces from the four corners are removed to form a regular octagon. Find the area removed to the nearest integer?

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area rimossa dal quadrato per formare un ottagono regolare

Da un quadrato con lati di lunghezza 5, vengono rimossi pezzi triangolari dai quattro angoli per formare un ottagono regolare. Trovare l’area rimossa al numero intero più vicino?

src_prmo_2019__Q01

Functional equation roots condition

Let $f(x)=x^2+ax+b$. If for all nonzero real $x$ $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ and the roots of $f(x)=0$ are integers, what is the value of $a^2+b^2$?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 13 Fonte: apri PDF

Condizione delle radici dell’equazione funzionale

Let $f(x)=x^2+ax+b$. Se per tutti i $x$ $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ reali non zero e le radici di $f(x)=0$ sono numeri interi, qual è il valore di $a^2+b^2$?

Risposta: 13 src_prmo_2019__Q02

Sequence defined by recursive product; sum of digits of largest prime factor

Let $x_1$ be a positive real number and for every integer $n\ge 1$ let $x_{n+1}=1+x_1{x}_2\cdots x_n$. If $x_5=13$, what is the sum of digits of the largest prime factor of $x_5$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Sequenza definita da prodotto ricorsivo; somma di numeri del fattore primo più grande

Che $x_1$ sia un numero reale positivo e per ogni intero $n\ge 1$ che $x_{n+1}=1+x_1{x}_2\cdots x_n$. Se $x_5=13$, qual è la somma delle cifre del più grande fattore primo di $x_5$?

Risposta: 4 src_prmo_2019__Q03

Ant walking pattern total distance

An ant leaves the anthill for its morning exercise. It walks 4 feet east and then makes a $160^{\circ }$ turn to the right and walks 4 more feet. It then makes another $160^{\circ }$ turn to the right and walks 4 more feet. If the ant continues this pattern until it reaches the anthill again, what is the distance in feet it would have walked?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria Risposta: 40 Fonte: apri PDF

*Mostrato di camminata di formiche Distanza totale *

Una formica lascia la formica per l’esercizio mattutino. Cammina a 4 piedi ad est e poi fa una curva a destra e cammina altri 4 piedi. Poi fa un’altra volta a destra e cammina altri 4 piedi. Se la formica continua questo modello fino a raggiungere di nuovo la formica, quale distanza in piedi avrebbe camminato?

Risposta: 40 src_prmo_2019__Q04

Seating arrangements on circular table with badge condition

5 persons wearing badges with numbers 1, 2, 3, 4, 5 are seated on 5 chairs around a circular table. In how many ways can they be seated so that no two persons whose badges have consecutive numbers are seated next to each other? (Two arrangements obtained by rotation around the table are considered different.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Disposizioni di sedute su tavolo circolare con condizione distintiva

5 persone con distintivi con i numeri 1, 2, 3, 4, 5 si siedono su 5 sedie attorno a un tavolo circolare. In quanti modi possono essere sedute in modo che non siano sedute a fianco di due persone i cui distintivi abbiano numeri consecutivi? (Due disposizioni ottenute per rotazione intorno alla tavola sono considerate diverse.)

src_prmo_2019__Q05

Three-digit number with sum of squares of digits equal to square

Let $\overline{abc}$ be a three digit number with nonzero digits such that $a^2+b^2=c^2$. What is the largest possible prime factor of $\overline{abc}$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numero a tre cifre con la somma dei quadrati di cifre uguali a quadrato

$\overline{abc}$ sia un numero a tre cifre con cifre non zero come $a^2+b^2=c^2$. Qual è il più grande fattore primo possibile di $\overline{abc}$?

src_prmo_2019__Q06

Clock angle difference between two times when hands are perpendicular

On a clock, there are two instants between 12 noon and 1 PM, when the hour hand and the minute hand are at right angles. The difference in minutes between these two instants is written as $a+\frac{b}{c}$, where $a,b,c$ are positive integers, with $b<c$ and $b/c$ in the reduced form. What is the value of $a+b+c$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 51 Fonte: apri PDF

Differenza di angolo dell’orologio tra due volte quando le mani sono perpendicolari

Su un orologio, ci sono due istanti tra le 12 di mezzogiorno e le 13 di sera, quando la mano dell’ora e la mano del minuto sono ad angolo retto. La differenza di minuti tra questi due istanti è scritta come $a+\frac{b}{c}$, dove $a,b,c$ sono integri positivi, con $b<c$ e $b/c$ nella forma ridotta. Qual è il valore di $a+b+c$?

Risposta: 51 src_prmo_2019__Q07

Count n in [3,100] such that x^2+x+1 is divisible by n for some integer x

How many positive integers $n$ are there such that $3\le n\le 100$ and $x^2+x+1$ is divisible by $n$ for some integer $x$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare n in [3,100] in modo tale che x^2+x+1 sia divisibile da n per qualche intero x

Quanti integri positivi $n$ esistono tali che $3\le n\le 100$ e $x^2+x+1$ siano divisibili da $n$ per un certo numero intero $x$?

src_prmo_2019__Q08

Rational closest to 22/7 with denominator less than 100

Let the rational number $p/q$ be closest to but not equal to $22/7$ among all rational numbers with denominator $<100$. What is the value of $p-3q$?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Razionale più vicino a 22/7 con denominatore inferiore a 100

Il numero razionale $p/q$ deve essere il più vicino ma non uguale a $22/7$ tra tutti i numeri razionali con denominatore $<100$. Qual è il valore di $p-3q$?

src_prmo_2019__Q09

Angle bisectors on circumcircle iterated; smallest angle of new triangle

Let $ABC$ be a triangle and let $\Omega$ be its circumcircle. The internal bisectors of angles $A$, $B$ and $C$ intersect $\Omega$ at $A_1$, $B_1$, and $C_1$, respectively, and the internal bisectors of angles $A_1$, $B_1$, and $C_1$ of the triangle $A_1{B}_1{C}_1$ intersect $\Omega$ at $A_2$, $B_2$, and $C_2$, respectively. If the smallest angle of triangle $ABC$ is $40^{\circ }$, what is the magnitude of the smallest angle of triangle $A_2{B}_2{C}_2$ in degrees?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettori d’angolo su circoncircolo iterato; angolo più piccolo del nuovo triangolo

Che $ABC$ sia un triangolo e che $\Omega$ sia il suo circoncircolo. I bisettori interni degli angoli $A$, $B$ e $C$ si intersecano $\Omega$ rispettivamente a $A_1$, $B_1$ e $C_1$, e i bisettori interni degli angoli $A_1$, $B_1$ e $C_1$ del triangolo $A_1{B}_1{C}_1$ si intersecano $\Omega$ rispettivamente a $A_2$, $B_2$ e $C_2$. Se l’angolo più piccolo del triangolo $ABC$ è $40^{\circ }$, qual è la grandezza dell’angolo più piccolo del triangolo $A_2{B}_2{C}_2$ in gradi?

src_prmo_2019__Q10

Triangles similar to ABC with cos A cos B sin C = 1

How many distinct triangles $ABC$ are there, up to similarity, such that the magnitudes of angles $A$, $B$ and $C$ in degrees are positive integers and $\cos A\cos B+\sin A\sin B\sin kC=1$ for some positive integer $k$, where $kC$ does not exceed $360^{\circ }$?

Topic: Trigonometria, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangoli simili a ABC con cos A cos B sin C = 1

Quanti triangoli distinti $ABC$ esistono, fino alla somiglianza, in modo tale che le magnitudini degli angoli $A$, $B$ e $C$ in gradi siano integri positivi e $\cos A\cos B+\sin A\sin B\sin kC=1$ per qualche integro positivo $k$, dove $kC$ non supera $360^{\circ }$?

src_prmo_2019__Q11

Sum of n for which f(n+5)/f(n) is integer, good numbers

A natural number $k>1$ is called good if there exist natural numbers $a_1<a_2<\cdots <a_k$ such that $\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{a_k}}=1.$ Let $f(n)$ be the sum of the first $n$ good numbers, $n\ge 1$. Find the sum of all values of $n$ for which $f(n+5)/f(n)$ is an integer.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa di n per il quale f(n+5)/f(n) è un numero intero, numeri buoni

Un numero naturale $k>1$ è chiamato buono se esistono numeri naturali $a_1<a_2<\cdots <a_k$ in modo tale che $\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{a_k}}=1.$ $f(n)$ sia la somma dei primi numeri buoni $n$, $n\ge 1$. Trova la somma di tutti i valori di $n$ per i quali $f(n+5)/f(n)$ è un numero intero.

src_prmo_2019__Q12

Minimum positive sum of products of pairs from ±1 sequence

Each of the numbers $x_1,x_2,\dots ,x_{101}$ is $\pm 1$. What is the smallest positive value of $\sum _{1\le i<j\le 101}{x}_i{x}_j$?

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum somma positiva di prodotti di coppie provenienti da ±1 sequenza

Ogni numero $x_1,x_2,\dots ,x_{101}$ è $\pm 1$. Qual è il valore positivo più piccolo di $\sum _{1\le i<j\le 101}{x}_i{x}_j$?

src_prmo_2019__Q13

Smallest n >= 10 with n+6 prime and 9n+7 perfect square

Find the smallest positive integer $n\ge 10$ such that $n+6$ is a prime and $9n+7$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La più piccola n >= 10 con n+6 primo e 9n+7 quadrato perfetto

Trova il più piccolo intero positivo $n\ge 10$ in modo che $n+6$ sia un primo e $9n+7$ sia un quadrato perfetto.

src_prmo_2019__Q14

Pairs of parallel diagonals in regular 10-gon

In how many ways can a pair of parallel diagonals of a regular polygon of 10 sides be selected?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*I coppie di diagonali paralleli in 10 goni regolari *

In quanti modi si possono selezionare una coppia di diagonali paralleli di un poligono regolare di 10 lati?

src_prmo_2019__Q15

Extra amount school pays swapping pens and notebooks

A pen costs Rs. 13 and a note book costs Rs. 17. A school spends exactly Rs. 10000 in the year 2017-18 to buy $x$ pens and $y$ note books such that $x$ and $y$ are as close as possible (i.e., $|x-y|$ is minimum). Next year, in 2018-19, the school spends a little more than Rs. 10000 and buys $y$ pens and $x$ note books. How much more did the school pay?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Scuola paga un supplemento per lo scambio di penne e notebook

Una penna costa Rs. 13 e un quaderno costa Rs. 17. Una scuola spende esattamente Rs. 10000 nel 2017-18 per acquistare penne $x$ e libri di appunti $y$ in modo che $x$ e $y$ siano il più vicini possibile (cioè $|x-y|$ è minimo). L’anno prossimo, nel 2018-19, la scuola spenderà poco più di Rs. 10000 e acquista penne $y$ e libri di appunti $x$. Quanto ha pagato la scuola?

src_prmo_2019__Q16

Ordered triples (a,b,c) with 30a+50b+70c <= 343

Find the number of ordered triples $(a,b,c)$ of positive integers such that $30a+50b+70c\le 343$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triplici ordinati (a,b,c) con 30a+50b+70c <= 343

Trova il numero di triples ordinati $(a,b,c)$ di enti interi positivi come $30a+50b+70c\le 343$.

src_prmo_2019__Q17

Pairs (a,b) with gcd 1 and lcm 495

How many ordered pairs $(a,b)$ of positive integers with $a<b$ and $100\le a,b\le 1000$ satisfy $\gcd (a,b):\text{lcm}(a,b)=1:495$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Coppie (a, b) con gcd 1 e lcm 495

Quante coppie ordinate $(a,b)$ di integri positivi con $a<b$ e $100\le a,b\le 1000$ soddisfano $\gcd (a,b):\text{lcm}(a,b)=1:495$?

src_prmo_2019__Q18

Area of quadrilateral with perpendicular DC in circle

Let $AB$ be a diameter of a circle and let $C$ be a point on the circle such that $AC:CB=6:7$. Let $D$ be a point on the circle such that $DC$ is perpendicular to $AB$. Let $DE$ be the diameter through $D$. If $[XYZ]$ denotes the area of the triangle $XYZ$, find $[ABD]/[CDE]$ to the nearest integer.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area quadrilaterale con DC perpendicolare in cerchio

Il $AB$ deve essere un diametro di un cerchio e il $C$ deve essere un punto del cerchio tale che $AC:CB=6:7$. Il $D$ deve essere un punto del cerchio tale che $DC$ sia perpendicolare a $AB$. Il diametro di $DE$ deve essere $D$. Se $[XYZ]$ indica l’area del triangolo $XYZ$, trovare $[ABD]/[CDE]$ al numero intero più vicino.

src_prmo_2019__Q19

Largest N from arithmetic progression remainders 11,12,13

Consider the set $E$ of all natural numbers $n$ such that when divided by 11, 12, 13, respectively, the remainders, in that order, are distinct prime numbers in an arithmetic progression. If $N$ is the largest number in $E$, find the sum of digits of $N$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

N più piccolo dei rimanenti di progressione aritmetica 11,12,13

Considera l’insieme $E$ di tutti i numeri naturali $n$ in modo tale che quando diviso rispettivamente per 11, 12, 13, i rimanenti, in tale ordine, sono numeri primi distinti in una progressione aritmetica. Se $N$ è il numero più grande di $E$, si trova la somma delle cifre di $N$.

src_prmo_2019__Q20

Largest prime in partition of set E = {5,6,7,8,9}

Consider the set $E=\{5,6,7,8,9\}$. For any partition $\{A,B\}$ of $E$, with both $A$ and $B$ nonempty, consider the number obtained by adding the product of elements of $A$ to the product of elements of $B$. Let $N$ be the largest prime number among these numbers. Find the sum of digits of $N$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Primo più piccolo nella partizione del set E = {5,6,7,8,9}

Considera l’insieme $E=\{5,6,7,8,9\}$. Per qualsiasi partizione $\{A,B\}$ di $E$, con sia $A$ che $B$ non vuoti, si deve considerare il numero ottenuto aggiungendo il prodotto degli elementi di $A$ al prodotto degli elementi di $B$. Che $N$ sia il numero primo più grande tra questi numeri. Trova la somma delle cifre di $N$.

src_prmo_2019__Q21

Greatest integer not exceeding sum of 1/sqrt(k) up to 1500

What is the greatest integer not exceeding the sum $\sum _{k=1}^{1500}\frac{1}{\sqrt{k}}$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numero intero più grande non superiore alla somma di 1/sqrt ((k) fino a 1500*

Qual è il numero intero più grande non superiore alla somma $\sum _{k=1}^{1500}\frac{1}{\sqrt{k}}$?

src_prmo_2019__Q22

Maximum area of cyclic quadrilateral given distances from Fermat point

Let $ABCD$ be a convex cyclic quadrilateral. Suppose $P$ is a point in the plane of the quadrilateral such that the sum of its distances from the vertices of $ABCD$ is the least. If $\{PA,PB,PC,PD\}=\{3,4,6,8\},$ what is the maximum possible area of $ABCD$?

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area massima del quadrilatero ciclico data dalle distanze dal punto Fermat

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convex ciclico. Supponiamo che $P$ sia un punto nel piano del quadrilaterale in modo tale che la somma delle sue distanze dalle vertici di $ABCD$ sia la minore. Se $\{PA,PB,PC,PD\}=\{3,4,6,8\},$ qual è la superficie massima possibile di $ABCD$?

src_prmo_2019__Q23

Largest prime factor of coloring count for rectangle grid

A $1\times n$ rectangle ($n\ge 1$) is divided into $n$ unit ($1\times 1$) squares. Each square of this rectangle is coloured red, blue or green. Let $f(n)$ be the number of colourings of the rectangle in which there are an even number of red squares. What is the largest prime factor of $f(9)/f(3)$? (The number of red squares can be zero.)

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il più grande fattore primo del numero di colori per la griglia rettangolare

Un rettangolo $1\times n$ ($n\ge 1$) è diviso in quadrati unitari $n$ ($1\times 1$). Ogni quadrato di questo rettangolo è di colore rosso, blu o verde. $f(n)$ è il numero di colori del rettangolo in cui ci sono un numero pari di quadrati rossi. Qual è il più grande fattore primo di $f(9)/f(3)$? (Il numero dei quadrati rossi può essere zero.)

src_prmo_2019__Q24

Diameter of circular village wall seen from given point

A village has a circular wall around it, and the wall has four gates pointing north, south, east and west. A tree stands outside the village, 16 m north of the north gate, and it can be just seen appearing on the horizon from a point 48 m east of the south gate. What is the diameter, in metres, of the wall that surrounds the village?

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Diametro della parete circolare del villaggio vista da un dato punto

Un villaggio ha un muro circolare attorno a esso, e il muro ha quattro porte che puntano a nord, sud, est e ovest. Al di fuori del villaggio, a 16 m a nord del cancello settentrionale, si trova un albero che appare all’orizzonte da un punto a 48 m a est del cancello sud. Qual è il diametro, in metri, del muro che circonda il villaggio?

src_prmo_2019__Q25

Smallest x+y+z given xy+z=160

Positive integers $x,y,z$ satisfy $xy+z=160$. Compute the smallest possible value of $x+y+z$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La minore x+y+z data xy+z=160

I numeri interi positivi $x,y,z$ soddisfano $xy+z=160$. Calcolare il minimo valore possibile di $x+y+z$.

src_prmo_2019__Q26

Count derangements of BHARAT

We will say that a rearrangement of the letters of a word has no fixed letters if, when the rearrangement is placed directly below the word, no column has the same letter repeated. For instance, $HBRATA$ is a rearrangement with no fixed letters of $BHARAT$. How many distinguishable rearrangements with no fixed letters does $BHARAT$ have? (The two $A$s are considered identical.)

Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Disturbi di conteggio di BHARAT

Diciamo che una riorganizzazione delle lettere di una parola non ha lettere fisse se, quando la riorganizzazione è posta direttamente sotto la parola, nessuna colonna ha la stessa lettera ripetuta. Ad esempio, $HBRATA$ è un riordinamento senza lettere fisse di $BHARAT$. Quante riorganizzazioni distinguibili senza lettere fisse ha $BHARAT$? (I due $A$ sono considerati identici.)

src_prmo_2019__Q27

Largest integer not exceeding r1+r2+r3 for incircle corner triangles

Let $ABC$ be a triangle with sides 51, 52, 53. Let $\Omega$ denote the incircle of $△ABC$. Draw tangents to $\Omega$ which are parallel to the sides of $ABC$. Let $r_1,r_2,r_3$ be the inradii of the three corner triangles so formed. Find the largest integer that does not exceed $r_1+r_2+r_3$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel numero intero più grande non superiore a r1+r2+r3 per i triangoli angolari incircoli

$ABC$ sia un triangolo con lati 51, 52, 53. $\Omega$ indichi l’incircolo di $△ABC$. Tracciare tangenti a $\Omega$ paralleli ai lati di $ABC$. Il $r_1,r_2,r_3$ deve essere l’inradii dei tre triangoli angolari così formati. Trova il più grande numero intero non superiore a $r_1+r_2+r_3$.

src_prmo_2019__Q28

Integer nearest to area of triangle ABC with given median and bisector

In a triangle $ABC$, the median $AD$ (with $D$ on $BC$) and the angle bisector $BE$ (with $E$ on $AC$) are perpendicular to each other. If $AD=7$ and $BE=9$, find the integer nearest to the area of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Integra più vicina all’area del triangolo ABC con data media e bisector

In un triangolo $ABC$, la media $AD$ (con $D$ su $BC$) e il bisettore angolare $BE$ (con $E$ su $AC$) sono perpendicolari l’una all’altra. Se $AD=7$ e $BE=9$, trovare il numero intero più vicino all’area del triangolo $ABC$.

src_prmo_2019__Q29

Number of elements in E partitioned into 3 subsets with equal sums

Let $E$ denote the set of all natural numbers $n$ such that $3<n<100$ and the set $\{1,2,3,\dots ,n\}$ can be partitioned into 3 subsets with equal sums. Find the number of elements of $E$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numero di elementi di E suddivisi in 3 sottogruppi con somme uguali

$E$ indichi l’insieme di tutti i numeri naturali $n$ in modo tale che $3<n<100$ e l’insieme $\{1,2,3,\dots ,n\}$ possano essere suddivisi in 3 sottoinsiemi con somme uguali. Trova il numero di elementi di $E$.

src_prmo_2019__Q30