Regional Mathematical Olympiad 1990

Pigeonhole on balls of same colour and size in two boxes

Two boxes contain between them 65 balls of several different sizes. Each ball is white, black, red or yellow. If you take any 5 balls of the same colour at least 2 of them will always be of the same size (radius). Prove that there are at least 3 balls which lie in the same box have the same colour and have the same size (radius).

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Pigeon hole su sfere dello stesso colore e dimensione in due scatole

Due scatole contengono tra di loro 65 palle di diverse dimensioni. Ogni palla è bianca, nera, rossa o gialla. Se si prendono 5 palle dello stesso colore, almeno 2 di esse saranno sempre della stessa dimensione (radio). Prova che ci sono almeno 3 palle nella stessa scatola, dello stesso colore e della stessa dimensione (radio).

src_rmo_1990__Q01

Inequality for positive reals: sum of fractions ge 3/2

For all positive real numbers $a,b,c$ prove that $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ineguaglianza per i reali positivi: somma delle frazioni ge 3/2 *

Per tutti i numeri reali positivi $a,b,c$ provare che $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}.$

src_rmo_1990__Q02

Square paper folded so B hits midpoint M of CD; crease divides BC 3:5

A square sheet of paper $ABCD$ is so folded that $B$ falls on the mid-point $M$ of $CD$. Prove that the crease will divide $BC$ in the ratio $5:3$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Papero quadrato piegato in modo che B raggiunga il punto medio M del CD; piega divide BC 3:5

Un foglio quadrato di carta $ABCD$ è piegato in modo tale che $B$ ricade sul punto medio $M$ di $CD$. Prove che la piega dividerà $BC$ nel rapporto $5:3$.

src_rmo_1990__Q03

Find remainder when 2^1990 is divided by 1990

Find the remainder when $2^{1990}$ is divided by $1990$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il rimanente quando 2^1990 è diviso per 1990

Trova il rimanente quando $2^{1990}$ è diviso da $1990$.

src_rmo_1990__Q04

Point P inside triangle ABC with perimeter 2s: prove s < AP+BP+CP < 2s

$P$ is any point inside a triangle $ABC$. The perimeter of the triangle $AB+BC+CA=2s$. Prove that $s<AP+BP+CP<2s.$

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto P all’interno del triangolo ABC con perimetro 2s: prova s < AP+BP+CP < 2s

$P$ è qualsiasi punto all’interno di un triangolo $ABC$. Il perimetro del triangolo $AB+BC+CA=2s$. Provare che $s<AP+BP+CP<2s.$

src_rmo_1990__Q05

50-digit number divisible by 13; find 26th digit given all others are 1

$N$ is a 50 digit number (in the decimal scale). All digits except the 26th digit (from the left) are 1. If $N$ is divisible by 13, find the 26th digit.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

numero a 50 cifre divisibile per 13; trovare la 26a cifra dato che tutti gli altri sono 1

$N$ è un numero di 50 cifre (scala decimale). Tutte le cifre tranne la 26a cifre (da sinistra) sono 1. Se $N$ è divisibile per 13, trova la 26a cifra.

src_rmo_1990__Q06

Censuswoman deduces individual ages from two sums of pairs

A censuswoman on duty visited a house which the lady inmates declined to reveal their individual ages, but said — “we do not mind giving you the sum of the ages of any two ladies you may choose”. Thereupon the censuswoman said — “In that case please give me the sum of the ages of every possible pair of you”. She gave the sums as follows: 30, 33, 41, 58, 66, 69. The censuswoman took these figures and happily went away. How did she calculate the individual ages of the ladies from these figures?

Topic: Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Donna del censimento deduce le età individuali da due somme di coppie

Una censista in servizio ha visitato una casa che le donne detenute ha rifiutato di rivelare le loro singole età, ma ha detto “non ci dispiace darvi la somma delle età di due donne che potete scegliere”. La donna del censimento disse: “In tal caso, per favore, dammi la somma delle età di ogni possibile coppia”. Ha dato le somme come segue: 30, 33, 41, 58, 66, 69. La donna censista prese queste cifre e se ne andò felice. Come ha calcolato le singole età delle donne a partire da queste cifre?

src_rmo_1990__Q07

Circumcenter equals centroid implies equilateral triangle

If the circumcenter and centroid of a triangle coincide, prove that the triangle must be equilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumcenter = centroid implica triangolo equilaterale

Se il centro circostante e il centroide di un triangolo coincidono, dimostrare che il triangolo deve essere equilaterale.

src_rmo_1990__Q08