Regional Mathematical Olympiad 1991

Cevians through interior point, prove ratio sum equals one

Let $P$ be an interior point of a triangle $ABC$ and $AP$, $BP$, $CP$ meet the sides $BC$, $CA$, $AB$ in $D$, $E$, $F$ respectively. Show that $\frac{AP}{PD}=\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Cevians attraverso il punto interno, prova che la somma del rapporto è uguale a uno

Che $P$ sia un punto interno di un triangolo $ABC$ e $AP$, $BP$, $CP$ incontrino rispettivamente i lati $BC$, $CA$, $AB$ in $D$, $E$ e $F$. Indicare che $\frac{AP}{PD}=\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}.$

src_rmo_1991__Q01

Inequality for four positive reals summing condition

If $a$, $b$, $c$ and $d$ are any 4 positive real numbers, then prove that $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ineguaglianza per quattro valori reali positivi condizione di somma *

Se $a$, $b$, $c$ e $d$ sono 4 numeri reali positivi, dimostrare che $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4.$

src_rmo_1991__Q02

Find all four-digit perfect squares with equal digit pairs

A four-digit number has the following properties: (a) it is a perfect square, (b) its first two digits are equal to each other, (c) its last two digits are equal to each other.

Find all such four-digit numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i quadrati perfetti a quattro cifre con coppie di cifre uguali

Un numero a quattro cifre ha le seguenti proprietà: (a) è un quadrato perfetto, (b) le sue prime due cifre sono uguali l’una all’altra, (c) le sue ultime due cifre sono uguali l’una all’altra.

Trova tutti quei numeri a quattro cifre.

src_rmo_1991__Q03

Two urns, operations to empty both simultaneously

There are two urns each containing an arbitrary number of balls. Both are non-empty to begin with. We are allowed two types of operations: (a) remove an equal number of balls simultaneously from the urns, and (b) double the number of balls in any one of them.

Show that after performing these operations finitely many times, both the urns can be made empty.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Due urne, operazioni per svuotare entrambe contemporaneamente

Ci sono due urne che contengono ciascuna un numero arbitrario di palle. Entrambi non sono vuoti per cominciare. Ci sono permessi due tipi di operazioni: (a) rimuovere simultaneamente un numero uguale di palle dalle urne, e (b) raddoppiare il numero di palle in una qualsiasi di esse.

Mostrate che dopo aver eseguito queste operazioni infinite volte, entrambe le urne possono essere svuotate.

src_rmo_1991__Q04

Lines through point on side of triangle, parallelism chain

Take any point $P_1$ on side $BC$ of a triangle $ABC$ and draw the following chain of lines: $P_1{P}_2$ parallel to $AC$ ($P_2$ on $AB$); $P_2{P}_3$ parallel to $BC$ ($P_3$ on $AC$); $P_3{P}_4$ parallel to $AB$ ($P_4$ on $BC$); $P_4{P}_5$ parallel to $CA$ ($P_5$ on $AB$); $P_5{P}_6$ parallel to $BC$ ($P_6$ on $AC$). Here $P_2$, $P_3$ lie on $AB$; $P_3$, $P_5$ lie on $CA$; $P_1$, $P_4$ lie on $BC$. Show that $P_6{P}_1$ is parallel to $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Line attraverso il punto sul lato del triangolo, catena di parallele

Prendi qualsiasi punto $P_1$ sul lato $BC$ di un triangolo $ABC$ e disegni la seguente catena di linee: $P_1{P}_2$ parallelo a $AC$ ($P_2$ su $AB$); $P_2{P}_3$ parallelo a $BC$ ($P_3$ su $AC$); $P_3{P}_4$ parallelo a $AB$ ($P_4$ su $BC$); $P_4{P}_5$ parallelo a $CA$ ($P_5$ su $AB$); $P_5{P}_6$ parallelo a $BC$ ($P_6$ su $AC$). Qui $P_2$, $P_3$ si trovano su $AB$; $P_3$, $P_5$ si trovano su $CA$; $P_1$, $P_4$ si trovano su $BC$. Indicare che $P_6{P}_1$ è parallelo a $AB$.

src_rmo_1991__Q05

Find integers a such that quadratic factors as product

Find all integer values of $a$ such that the quadratic expression $(x+a)(x+1991)+1$ can be factored as a product $(x+b)(x+c)$ where $b$ and $c$ are integers.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trovare un intero tale che i fattori quadratici come prodotto

Trova tutti i valori interi di $a$ in modo tale che l’espressione quadrata $(x+a)(x+1991)+1$ possa essere fatturata come prodotto $(x+b)(x+c)$ dove $b$ e $c$ sono interi.

src_rmo_1991__Q06

Prove n^4 + 4^n composite for all integers n > 1

Prove that $n^4+4^n$ is composite for all integer values of $n$ greater than 1.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove n^4 + 4^n composto per tutti gli integri n > 1

Prova che $n^4+4^n$ è composto per tutti i valori interi di $n$ superiori a 1.

src_rmo_1991__Q07

8x8 chessboard integers averaged by neighbours, all equal

The 64 squares of an $8\times 8$ chessboard are filled with positive integers in such a way that each integer is the average of the integers on the neighbouring squares. (Two squares are neighbours if they share a common edge or a common vertex. A square can have $8$, $5$ or $3$ neighbours depending on its position.) Show that all the 64 integer entries are in fact equal.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

8x8 numeri interi della scacchiera in media per vicini, tutti uguali

I 64 quadrati di una scacchiera $8\times 8$ sono riempiti di numeri interi positivi in modo tale che ogni numero intero sia la media dei numeri interi sui quadrati vicini. (Due quadrati sono vicini se condividono un bordo comune o una vertex comune. Un quadrato può avere $8$, $5$ o $3$ vicini a seconda della sua posizione.) Mostrare che tutti i 64 numeri interi sono in realtà uguali.

src_rmo_1991__Q08