Regional Mathematical Olympiad 1992

Find all integers n such that n²+19n+92 is a perfect square.

Determine the set of integers $n$ for which $n^2+19n+92$ is a square of an integer.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutti gli enti n in modo tale che n2+19n+92 sia un quadrato perfetto.

Determinare l’insieme di enti $n$ per il quale $n^2+19n+92$ è un quadrato di un intero.

src_rmo_1992__Q01

Positive integers a,b,c with no common factor; (a+b) is a perfect square.

If $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$, where $a$, $b$, $c$ are positive integers with no common factor, prove that $(a+b)$ is the square of an integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Anteri positivi a,b,c senza fattore comune; (a+b) è un quadrato perfetto.

Se $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$, dove $a$, $b$, $c$ sono numeri interi positivi senza fattore comune, dimostrare che $(a+b)$ è il quadrato di un intero.

src_rmo_1992__Q02

Find the largest 3-digit prime factor of C(2000,1000).

Determine the largest 3-digit prime factor of the integer $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2000}{1000}\right)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca il più grande fattore primo a 3 cifre di C(2000,1000).

Determinare il più grande fattore primo a 3 cifre del numero intero $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2000}{1000}\right)$.

src_rmo_1992__Q03

Cyclic quadrilateral ABCD with diagonal AC meeting BD at E; prove EA²+EB²+EC²+ED²=4R².

$ABCD$ is a cyclic quadrilateral with $AC\perp BD$, $AC$ meets $BD$ at $E$. Prove that $E{A}^2+E{B}^2+E{C}^2+E{D}^2=4R^2,$ where $R$ is the radius of the circumscribing circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale ciclico con diagonale AC che si riunisce BD a E; prova EA2+EB2+EC2+ED2=4R2.

$ABCD$ è un quadrilaterale ciclico con $AC\perp BD$, $AC$ incontra $BD$ a $E$. Prove che $E{A}^2+E{B}^2+E{C}^2+E{D}^2=4R^2,$ dove $R$ è il raggio del cerchio circumscribente.

src_rmo_1992__Q04

Cyclic quadrilateral ABCD; distances x,y,z from A to lines BD,BC,CD satisfy BD/x=BC/y+CD/z.

$ABCD$ is a cyclic quadrilateral; $x$, $y$, $z$ are the distances of $A$ from the lines $BD$, $BC$, $CD$ respectively. Prove that $\frac{BD}{x}=\frac{BC}{y}+\frac{CD}{z}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale ciclico; le distanze x,y,z da A alle linee BD,BC,CD soddisfano BD/x=BC/y+CD/z.

$ABCD$ è un quadrilaterale ciclico; $x$, $y$, $z$ sono le distanze di $A$ dalle linee $BD$, $BC$ e $CD$ rispettivamente. Provare che $\frac{BD}{x}=\frac{BC}{y}+\frac{CD}{z}.$

src_rmo_1992__Q05

Quadrilateral ABCD with midpoints P,Q of CD,AB; lines meet; prove area ADX+area BCY=area PXQY.

$ABCD$ is a quadrilateral and $P$, $Q$ are mid-points of $CD$, $AB$ respectively. Let $AP$, $DQ$ meet at $X$, and $BP$, $CQ$ meet at $Y$. Prove that $\text{area of }ADX+\text{area of }BCY=\text{area of quadrilateral }PXQY.$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale con punti di mezzo P,Q di CD,AB; linee che si incontrano; prove area ADX+area BCY=area PXQY.

$ABCD$ è un quadrilaterale e $P$, $Q$ sono i punti medi rispettivamente di $CD$ e $AB$. Lasciate che $AP$, $DQ$ si incontrino a $X$, e $BP$, $CQ$ si incontrino a $Y$. Provare che $\text{area of }ADX+\text{area of }BCY=\text{area of quadrilateral }PXQY.$

src_rmo_1992__Q06

Prove the inequality 1 < sum of 1/(1001) to 1/(3001) < 4/3.

Prove that $1<\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+\cdots +\frac{1}{3001}<\frac{4}{3}.$

Topic: Disuguaglianze, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza 1 < somma di 1/(1001) a 1/(3001) < 4/3.

Provare che $1<\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+\cdots +\frac{1}{3001}<\frac{4}{3}.$

src_rmo_1992__Q07

Solve the symmetric system (x+y)(x+y+z)=18, (y+z)(x+y+z)=30, (z+x)(x+y+z)=24 in terms of A.

Solve the system $\{\begin{array}{l}(x+y)(x+y+z)=18\\ (y+z)(x+y+z)=30\\ (z+x)(x+y+z)=24\end{array}$ in terms of the parameter $A$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi il sistema simmetrico (x+y) ((x+y+z) = 18, (y+z) ((x+y+z) = 30, (z+x) ((x+y+z) = 24) in termini di A.

Risolvere il sistema $\{\begin{array}{l}(x+y)(x+y+z)=18\\ (y+z)(x+y+z)=30\\ (z+x)(x+y+z)=24\end{array}$ in termini di parametro $A$.

src_rmo_1992__Q08

Cyclic octagon ABCDEFGH with alternating sides a,a,a,a,b,b,b,b; find circumradius in terms of a and b.

The cyclic octagon $ABCDEFGH$ has sides $a,a,a,a,b,b,b,b$ respectively. Find the radius of the circle that circumscribes $ABCDEFGH$ in terms of $a$ and $b$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Octogono ciclico ABCDEFGH con lati alternati a,a,a,a,b,b,b,b; trovare il circondario in termini di a e b.

L’ottagono ciclico $ABCDEFGH$ ha rispettivamente lati $a,a,a,a,b,b,b,b$. Trova il raggio del cerchio che circumscrive $ABCDEFGH$ in termini di $a$ e $b$.

src_rmo_1992__Q09