Regional Mathematical Olympiad 1993

Altitude midpoints in acute triangle, find CD

Let $ABC$ be an acute-angled triangle and $CD$ be the altitude through $C$. If $AB=8$ and $CD=6$, find the distance between the mid-points of $AD$ and $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti medi di altitudine nel triangolo acuto, trovare CD

Il $ABC$ è un triangolo acuto e $CD$ è l’altitudine attraverso $C$. Se $AB=8$ e $CD=6$, trovare la distanza tra i punti di mezzo di $AD$ e $BC$.

src_rmo_1993__Q01

Ten’s digit of any power of 3 is even

Prove that the ten’s digit of any power of $3$ is even. [e.g. the ten’s digit of $3^8=729$ is $2$].

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La cifra di dieci di qualsiasi potenza di 3 è pari

Prove che la cifra di dieci di qualsiasi potenza di $3$ è pari. [e.g. la cifra decimale di $3^8=729$ è $2$].

src_rmo_1993__Q02

Non-isosceles triangles from vertices of 20-gon

Suppose $A_1{A}_2\dots A_{20}$ is a $20$-sided regular polygon. How many non-isosceles (scalene) triangles can be formed whose vertices are among the vertices of the polygon?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Triangoli non isocelli da vertici di 20 g

Supponiamo che $A_1{A}_2\dots A_{20}$ sia un poligono regolare laterale $20$. Quanti triangoli non isoscelli (scaleni) possono essere formati le cui vertici sono tra le vertici del poligono?

src_rmo_1993__Q03

Inequality for inscribed circle radii in rectangle

Let $ABCD$ be a rectangle with $AB=a$ and $BC=b$. Suppose $r_1$ is the radius of the circle passing through $A$ and $B$ and touching $CD$; and similarly $r_2$ is the radius of the circle passing through $B$ and $C$ and touching $AD$. Show that $r_1+r_2\ge \frac{5}{8}(a+b).$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Inuguaglianza per i radii di un cerchio inciso nel rettangolo

Il $ABCD$ deve essere un rettangolo con $AB=a$ e $BC=b$. Supponiamo che $r_1$ sia il raggio del cerchio che attraversa $A$ e $B$ e tocca $CD$; e allo stesso modo $r_2$ è il raggio del cerchio che attraversa $B$ e $C$ e tocca $AD$. Indicare che $r_1+r_2\ge \frac{5}{8}(a+b).$

src_rmo_1993__Q04

19^93 - 13^93 divisible by 162

Show that $19^{93}-13^{93}$ is a positive integer divisible by $162$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

19^93 - 13^93 divisibile per 162

Indicare che $19^{93}-13^{93}$ è un intero positivo divisibile da $162$.

src_rmo_1993__Q05

Inequality for four positive reals with abcd=1

If $a$, $b$, $c$, $d$ are four positive real numbers such that $abcd=1$, prove that $(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\ge 16.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Inequità per quattro valori reali positivi con abcd=1

Se $a$, $b$, $c$, $d$ sono quattro numeri reali positivi come $abcd=1$, dimostrare che $(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\ge 16.$

src_rmo_1993__Q06

Ages of 10 persons from 9-element subset sums

In a group of ten persons, each person is asked to write the sum of the ages of all the other $9$ persons. If all the ten sums form the $9$-element set $\{82,83,84,85,87,89,90,91,92\}$ find the individual ages of the persons (assuming them to be whole numbers of years).

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Age di 10 persone da 9 sottogruppi di elementi

In un gruppo di dieci persone, ogni persona viene invitata a scrivere la somma delle età di tutte le altre persone $9$. Se tutte le dieci somme formano l’insieme $9$-elemento $\{82,83,84,85,87,89,90,91,92\}$ si trovano le singole età delle persone (assumendo che siano numeri interi di anni).

src_rmo_1993__Q07

Count dinners attended alone given overlap conditions

I have 6 friends and during a vacation I met them during several dinners. I found that I dined with all the 6 exactly on $1$ day; with every $5$ of them on $2$ days; with every $4$ of them on $3$ days; with every $3$ of them on $4$ days; with every $2$ of them on $5$ days. Further every friend was present at $7$ dinners and every friend was absent at $7$ dinners. How many dinners did I have alone?

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Conteggio di cene assistite da sole in condizioni di sovrapposizione *

Ho 6 amici e durante le vacanze li ho incontrati durante diverse cene. Ho scoperto che ho cenato con tutti i 6 esattamente il giorno $1$; con ogni $5$ di loro nei giorni $2$; con ogni $4$ di loro nei giorni $3$; con ogni $3$ di loro nei giorni $4$; con ogni $2$ di loro nei giorni $5$. Inoltre, ogni amico era presente alle cene $7$ e ogni amico era assente alle cene $7$. Quante cene ho fatto da sola?

src_rmo_1993__Q08